ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 783 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сколькими способами из 30 учеников можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? троих? четверых?

Способов выбрать $n$ учеников из 30 для участия в олимпиаде;

Все выбранные ученики будут участвовать в олимпиаде на равных условиях, то есть порядок выбора не важен, следовательно требуется найти число сочетаний из 30 элементов по $n$;

Ответ: $C_{30}^2; \; C_{30}^3; \; C_{30}^4$.

Способов выбрать $n$ учеников из 30 для участия в олимпиаде;

Все выбранные ученики будут участвовать в олимпиаде на равных условиях, то есть порядок выбора не важен, следовательно требуется найти число сочетаний из 30 элементов по $n$.

Формула для числа сочетаний:
$C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Если $n = 2$, то:
$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30 \cdot 29}{2 \cdot 1} = 435$.

Если $n = 3$, то:
$C_{30}^3 = \frac{30!}{3!(30-3)!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4060$.

Если $n = 4$, то:
$C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 27\,405$.

Таким образом, количество способов выбрать учеников для олимпиады выражается через число сочетаний, которое учитывает только состав группы, но не порядок её выбора.

Ответ: $C_{30}^2 = 435; \; C_{30}^3 = 4060; \; C_{30}^4 = 27\,405$.