ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 782 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На плоскости отмечено 10 точек так, что никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Способов соединить 3 точки из 10, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой;

Неважно, в каком порядке соединены вершины треугольника, следовательно требуется найти число сочетаний из 10 элементов по 3;

Ответ: $C_{10}^3$.

Способов соединить 3 точки из 10, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой;

Чтобы определить количество различных треугольников, которые можно построить, выбирая вершины из 10 точек, необходимо учесть, что порядок выбора точек не имеет значения, так как треугольник определяется только множеством своих вершин, а перестановка этих вершин не создаёт нового треугольника. Следовательно, мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Обозначим количество точек $n = 10$, количество выбираемых вершин $k = 3$. Формула для числа сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Подставим $n = 10$ и $k = 3$:

$$C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10-3)!}$$

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!}$$ $$C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}$$

$$C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$ $$C_{10}^3 = \frac{720}{6} = 120$$

Таким образом, общее количество различных способов соединить 3 точки из 10, если никакие 3 точки не лежат на одной прямой, равно $120$.

Ответ: $C_{10}^3 = 120$.