ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 779 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду для игры на первой, второй, третьей, четвёртой, пятой досках в турнире?
б) В шахматном кружке занимаются 15 человек. Сколькими способами тренер может набрать из них команду из 5 человек для турнира?

а) Способов выбрать 5 шахматистов из 15, которые будут играть на первой, второй, третьей, четвертой и пятой досках; Шахматисты будут играть за определенными досками, значит нужно найти число размещений:
$A_{15}^5 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 360\,360;$

Ответ: 360 360.

б) Способов выбрать 5 шахматистов из 15 для участия в турнире; Порядок выбора не важен, значит нужно найти число сочетаний:
$C_{15}^5 = \frac{A_{15}^5}{P_5} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5!} = \frac{360\,360}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{360\,360}{120} = 3003;$

Ответ: 3003.

а) Способов выбрать 5 шахматистов из 15, которые будут играть на первой, второй, третьей, четвертой и пятой досках. Так как доски различаются, порядок имеет значение, следовательно, необходимо вычислить число размещений из 15 элементов по 5. Формула размещений:
$A_{n}^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.
Подставляем $n = 15$, $k = 5$:
$A_{15}^5 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11$.
Сначала вычислим пошагово:
$15 \cdot 14 = 210$.
$210 \cdot 13 = 2730$.
$2730 \cdot 12 = 32\,760$.
$32\,760 \cdot 11 = 360\,360$.
Таким образом, количество размещений равно $360\,360$.

Ответ: $360\,360$.

б) Способов выбрать 5 шахматистов из 15 для участия в турнире. Здесь порядок не имеет значения, поэтому используем формулу сочетаний:
$C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Подставляем $n = 15$, $k = 5$:
$C_{15}^5 = \frac{15!}{5! \cdot 10!}$.
Так как $\frac{n!}{(n-k)!} = A_{n}^k$, можно переписать как:
$C_{15}^5 = \frac{A_{15}^5}{5!}$.
Ранее мы нашли $A_{15}^5 = 360\,360$.
Теперь вычислим знаменатель $5!$:
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Делим:
$\frac{360\,360}{120} = 3003$.
Таким образом, количество сочетаний равно $3003$.

Ответ: $3003$.