ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 778 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, чтобы расставить их но этапам эстафеты 4 х 100 м?
б) В команде 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может выбрать четырёх спортсменов, которые побегут стометровку?

а) Способов выбрать 4 спортсменов из 10 для этапов эстафеты; Порядок выступления важен, значит нужно найти число размещений: $A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040;$

Ответ: 5040.

б) Способов выбрать 4 спортсменов из 10, которые побегут стометровку; Все побегут одновременно, значит нужно найти число сочетаний: $C_{10}^4 = \frac{A_{10}^4}{P_4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = \frac{5040}{4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210;$

Ответ: 210.

а) Рассмотрим первую ситуацию — требуется определить количество способов выбрать 4 спортсменов из 10 для участия в этапах эстафеты, при этом порядок выступления этих спортсменов играет роль. Это значит, что мы должны найти не просто комбинации, а именно размещения (перестановки выбранных 4 из 10 с учётом порядка).

Формула числа размещений без повторений:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.

В нашем случае $n = 10$, $k = 4$:
$A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$.

Пошаговое вычисление:
$10 \cdot 9 = 90$,
$90 \cdot 8 = 720$,
$720 \cdot 7 = 5040$.

Следовательно, существует ровно 5040 способов назначить 4 спортсменов на 4 этапа эстафеты, учитывая их порядок.

Ответ: $5040$.

б) Теперь рассмотрим вторую ситуацию — требуется определить количество способов выбрать 4 спортсменов из 10 для участия в стометровке. Все спортсмены бегут одновременно, и порядок значения не имеет. Это означает, что мы ищем число сочетаний.

Формула для числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n = 10$, $k = 4$:
$C_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Пошаговое вычисление:
Сначала числитель:
$10 \cdot 9 = 90$,
$90 \cdot 8 = 720$,
$720 \cdot 7 = 5040$.

Теперь знаменатель:
$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Делим:
$\frac{5040}{24} = 210$.

Таким образом, количество способов выбрать 4 спортсменов для одновременного забега на стометровке равно 210.

Ответ: $210$.