ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 777 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Сколькими способами можно сшить трёхцветный флаг с тремя горизонтальными полосами, если имеется материал 12 различных цветов?
б) Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 12 различных красок?

а) Способов сшить флаг с тремя полосами, если имеется 12 цветов; Порядок цветов важен, значит требуется найти число размещений:
$A_{12}^3 = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320;$

Ответ: 1320 способов.

б) Способов выбрать 3 краски из имеющихся 12 различных красок; Порядок цветов не важен, значит требуется найти число сочетаний:
$C_{12}^3 = \frac{A_{12}^3}{P_3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3!} = \frac{1320}{3 \cdot 2} = \frac{1320}{6} = 220;$

Ответ: 220.

а) Для того чтобы определить количество способов сшить флаг с тремя полосами, когда имеется 12 цветов, нужно учитывать, что порядок полос имеет значение, так как от перестановки цветов флаг меняется. В комбинаторике такая задача соответствует размещению без повторений из $n = 12$ элементов по $k = 3$. Формула для числа размещений:

$$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$$

Подставляем значения $n = 12$ и $k = 3$:

$$A_{12}^3 = 12 \cdot 11 \cdot 10$$

Пошаговые вычисления:

$$12 \cdot 11 = 132$$ $$132 \cdot 10 = 1320$$

Таким образом, существует ровно $1320$ различных способов расположить три разные полосы из двенадцати возможных цветов.

Ответ: $1320$ способов.

б) Теперь определим количество способов выбрать три краски из 12 различных, но здесь порядок выбора не имеет значения (если выбранные краски одинаковы по составу, перестановка местами не меняет результат). В комбинаторике это называется сочетанием без повторений. Формула для числа сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

При $n = 12$ и $k = 3$:

$$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$

Пошаговые вычисления числителя:

$$12 \cdot 11 = 132$$ $$132 \cdot 10 = 1320$$

Знаменатель:

$$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$

Делим:

$$\frac{1320}{6} = 220$$

Значит, существует $220$ различных комбинаций выбора трёх красок без учёта порядка.

Ответ: $220$.