ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 760 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Дан ряд чисел: $x_1, x_2, \ldots, x_n$, среднее арифметическое которого равно $a$. Каждое число ряда увеличили в 10 раз. Как изменится его среднее арифметическое? Что произойдёт с размахом? с дисперсией? со стандартным отклонением?

2) Сформулируйте полученный результат в общем виде: «Если каждое число ряда умножить на одно и то же число $k$, то…»

3) Ответьте на вопрос задачи, используя утверждения из пункта 2:
Ребятам было поручено провести статистическое исследование роста одноклассников. Коля записал рост ребят в сантиметрах: 162; 181; 179; …, а Оля — в метрах: 1,62; 1,81; 1,79; … . Затем они подсчитали средний рост, дисперсию и стандартное отклонение. Коля получил соответственно 172, 16 и 4. Какие результаты получила Оля?

1) Ряд чисел: $x_1, x_2, \ldots, x_n$, среднее арифметическое которого равно $a$;

Каждое число ряда увеличили в 10 раз, тогда:

Среднее арифметическое:
$\bar{x}_2 = \frac{10x_1 + 10x_2 + \cdots + 10x_n}{n} = 10 \cdot \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = 10a$;

Размах ряда:
$d_2 = 10x_n — 10x_1 = 10(x_n — x_1) = 10 \cdot d_1$;

Дисперсия:
$D_2 = \frac{(10x_1 — \bar{x}_2)^2 + (10x_2 — \bar{x}_2)^2 + \cdots + (10x_n — \bar{x}_2)^2}{n} =$
$= \frac{(10x_1 — 10a)^2 + (10x_2 — 10a)^2 + \cdots + (10x_n — 10a)^2}{n} =$
$= 10^2 \cdot \frac{(x_1 — a)^2 + (x_2 — a)^2 + \cdots + (x_n — a)^2}{n} = 10^2 \cdot D_1$;

1) Пусть дан ряд чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Его среднее арифметическое определяется формулой
$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = a$.

Каждое число ряда увеличили в 10 раз, то есть вместо каждого $x_i$ рассматривается $10x_i$. Тогда новое среднее арифметическое:
$\bar{x}_2 = \frac{10x_1 + 10x_2 + \cdots + 10x_n}{n}$.

Вынесем множитель 10 за скобки:
$\bar{x}_2 = 10 \cdot \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$.

Так как $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = a$, получаем
$\bar{x}_2 = 10a$.

То есть среднее арифметическое увеличилось ровно в 10 раз.

Размах ряда до преобразования:
$d_1 = x_n — x_1$, где $x_n$ — наибольший элемент ряда, $x_1$ — наименьший элемент.

После умножения всех чисел на 10:
$d_2 = 10x_n — 10x_1$.

Вынесем 10 за скобку:
$d_2 = 10(x_n — x_1) = 10 \cdot d_1$.

Значит размах также увеличился в 10 раз.

Дисперсия исходного ряда:
$D_1 = \frac{(x_1 — a)^2 + (x_2 — a)^2 + \cdots + (x_n — a)^2}{n}$.

После умножения всех элементов на 10, новое среднее арифметическое стало $\bar{x}_2 = 10a$. Тогда дисперсия нового ряда:
$D_2 = \frac{(10x_1 — \bar{x}_2)^2 + (10x_2 — \bar{x}_2)^2 + \cdots + (10x_n — \bar{x}_2)^2}{n}$.

Подставим $\bar{x}_2 = 10a$:
$D_2 = \frac{(10x_1 — 10a)^2 + (10x_2 — 10a)^2 + \cdots + (10x_n — 10a)^2}{n}$.

Вынесем множитель $10^2$:
$D_2 = 10^2 \cdot \frac{(x_1 — a)^2 + (x_2 — a)^2 + \cdots + (x_n — a)^2}{n}$.

Таким образом
$D_2 = 10^2 \cdot D_1$.

То есть дисперсия увеличивается в $10^2 = 100$ раз.

Стандартное отклонение исходного ряда:
$\sigma_1 = \sqrt{D_1}$.

После умножения всех элементов на 10, дисперсия стала $D_2 = 10^2 \cdot D_1$. Тогда стандартное отклонение:
$\sigma_2 = \sqrt{D_2} = \sqrt{10^2 \cdot D_1} = 10 \cdot \sqrt{D_1} = 10\sigma_1$.

Значит стандартное отклонение увеличивается в 10 раз.

Вывод:
— Среднее арифметическое увеличилось в 10 раз;
— Размах увеличился в 10 раз;
— Дисперсия увеличилась в 100 раз;
— Стандартное отклонение увеличилось в 10 раз.