ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 759 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите следующие утверждения:
а) В любом ряду данных сумма отклонений данных от их среднего арифметического равна нулю.
б) Если каждое число ряда данных увеличить на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

а) Пусть имеются данные $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$;

1) Среднее арифметическое:
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$;

2) Сумма отклонений данных от среднего арифметического:
$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+(x_3-\bar{x})+\cdots +(x_n-\bar{x})=$
$=(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)-n\cdot \bar{x}=$
$=(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)-(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)=0$;

Что и требовалось доказать.

б) Пусть имеются данные $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$;

1) Среднее арифметическое:
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$;

2) Если каждый член ряда увеличить на одно и то же число $a$:
$\bar{a}=\frac{x_1+a+x_2+a+\cdots +x_n+a}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}+\frac{an}{n}=\bar{x}+a$;

3Дисперсия:
$D_2=\frac{(x_1+a-\bar{a}{)}^2+(x_2+a-\bar{a}{)}^2+\cdots +(x_n+a-\bar{a}{)}^2}{n}=$
$=\frac{(x_1+a-\bar{x}-a{)}^2+(x_2+a-\bar{x}-a{)}^2+\cdots +(x_n+a-\bar{x}-a{)}^2}{n}=$
$=\frac{(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2}{n}=D_1$;

Что и требовалось доказать.

а) Пусть имеются данные $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$.

Найдем формулу для среднего арифметического. Оно определяется как частное от деления суммы всех элементов на их количество:
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$.

Рассмотрим сумму отклонений всех данных от их среднего арифметического. Под отклонением понимается разность каждого значения и среднего:
$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+(x_3-\bar{x})+\cdots +(x_n-\bar{x})$.

Преобразуем выражение. Вынесем за скобки:
$(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)-(\bar{x}+\bar{x}+\cdots +\bar{x})$.

Так как среднее арифметическое повторяется $n$ раз, это можно записать как:
$(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)-n\cdot \bar{x}$.

Подставим формулу для среднего арифметического:
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$.

Тогда получим:
$(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)-(x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n)=0$.

Таким образом, сумма отклонений элементов выборки от среднего арифметического равна нулю. Что и требовалось доказать.

б) Пусть имеются данные $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n$.

Среднее арифметическое этих данных имеет вид:
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n}{n}$.

Рассмотрим ситуацию, когда каждый член ряда увеличен на одно и то же число $a$. Тогда новые данные будут:
$x_1+a,x_2+a,x_3+a,\dots ,x_n+a$.

Найдем новое среднее арифметическое:
$\bar{a}=\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+\cdots +(x_n+a)}{n}$.

Преобразуем числитель:
$\bar{a}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}+\frac{a+a+\cdots +a}{n}$.

Так как число $a$ повторяется $n$ раз, получим:
$\bar{a}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}+\frac{an}{n}$.

Упростим:
$\bar{a}=\bar{x}+a$.

Это означает, что если прибавить ко всем элементам ряда одинаковое число, то среднее арифметическое увеличится ровно на это число.

Теперь рассмотрим дисперсию после такого преобразования. Дисперсия новых данных будет равна:
$D_2=\frac{(x_1+a-\bar{a}{)}^2+(x_2+a-\bar{a}{)}^2+\cdots +(x_n+a-\bar{a}{)}^2}{n}$.

Подставим найденное $\bar{a}=\bar{x}+a$:
$D_2=\frac{(x_1+a-\bar{x}-a{)}^2+(x_2+a-\bar{x}-a{)}^2+\cdots +(x_n+a-\bar{x}-a{)}^2}{n}$.

Упростим каждое выражение в скобках:
$D_2=\frac{(x_1-\bar{x}{)}^2+(x_2-\bar{x}{)}^2+\cdots +(x_n-\bar{x}{)}^2}{n}$.

Но это в точности определение исходной дисперсии:
$D_2=D_1$.

Таким образом, при прибавлении одного и того же числа ко всем элементам ряда среднее арифметическое увеличивается на это число, а дисперсия не изменяется. Что и требовалось доказать.