ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 757 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На стройку с кирпичного завода привезли 20 упаковок кирпича. Чтобы проверить качество партии, из каждой упаковки вытащили случайным образом по кирпичу и замерили длину каждого. Ниже представлены полученные величины (в см): 20,5; 20,1; 21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20;
20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4; 19,8; 19,1; 20,3.
а) Определите среднюю длину кирпича.
б) Найдите величину стандартного отклонения длины кирпича от средней.
в) Каков процент кирпичей, длина которых отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше чем на величину стандартного отклонения?

а) Средняя длина кирпича:
$\bar{x}=\frac{1}{20}\cdot (20,5\cdot 3+20,1\cdot 3+21,3+20,3\cdot 2+19,8\cdot 2+19,2+$

$19,6\cdot 2+20,2+20+19,7+19,9+19,4+19,1)=\frac{1}{20}\cdot 400=20$;

б) Дисперсия:
$D=\frac{1}{20}\cdot ((20,5-20{)}^2\cdot 3+(20,1-20{)}^2\cdot 3+(21,3-20{)}^2+(20,3-20{)}^2\cdot 2$

$+(19,8-20{)}^2\cdot 2+(19,2-20{)}^2+(19,6-20{)}^2\cdot 2+(20,2-20{)}^2+$

$(20-20{)}^2+(19,7-20{)}^2+(19,9-20{)}^2+(19,4-20{)}^2+$

$(19,1-20{)}^2)=\frac{1}{20}\cdot (0,25\cdot 3+0,01\cdot 3+1,69+0,09\cdot 2+0,04\cdot 2+$

$0,64+0,16\cdot 2+0,04+0^2+0,09+0,01+0,36+0,81)=\frac{1}{20}\cdot 5=0,25$;

Стандартное отклонение:
$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{0,25}=0,5$ (см);

Ответ: 0,5 см.

в) Процент кирпичей, длина которых отличается от средней:

1) Более чем на 0,2:
$\frac{12}{20}\cdot 100\mathrm{\%}=0,6\cdot 100\mathrm{\%}=50\mathrm{\%}$;

2) Более чем на величину стандартного отклонения:
$\frac{4}{20}\cdot 100\mathrm{\%}=0,2\cdot 100\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$;

а) Средняя длина кирпича вычисляется как среднее арифметическое всех данных измерений, с учётом количества повторений одинаковых значений. Пусть всего имеется 20 кирпичей. Тогда формула для среднего арифметического:
$\bar{x}=\frac{\sum x_i\cdot n_i}{\sum n_i}$, где $x_i$ — длина кирпича в см, $n_i$ — количество кирпичей с этой длиной.

Вычисляем числитель поэтапно:
$20,5\cdot 3=61,5$,
$20,1\cdot 3=60,3$,
$21,3\cdot 1=21,3$,
$20,3\cdot 2=40,6$,
$19,8\cdot 2=39,6$,
$19,2\cdot 1=19,2$,
$19,6\cdot 2=39,2$,
$20,2\cdot 1=20,2$,
$20,0\cdot 1=20,0$,
$19,7\cdot 1=19,7$,
$19,9\cdot 1=19,9$,
$19,4\cdot 1=19,4$,
$19,1\cdot 1=19,1$.

Суммируем:
$61,5+60,3+21,3+40,6+39,6+19,2+39,2+20,2+$

$20,0+19,7+19,9+19,4+19,1=400$.

Таким образом:
$\bar{x}=\frac{400}{20}=20$.

Средняя длина кирпича равна $20$ см.

б) Для вычисления дисперсии используется формула:
$D=\frac{1}{N}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\cdot n_i$.

Подставляем $\bar{x}=20$.

$(20,5-20{)}^2\cdot 3=0,25\cdot 3=0,75$,
$(20,1-20{)}^2\cdot 3=0,01\cdot 3=0,03$,
$(21,3-20{)}^2\cdot 1=1,69\cdot 1=1,69$,
$(20,3-20{)}^2\cdot 2=0,09\cdot 2=0,18$,
$(19,8-20{)}^2\cdot 2=0,04\cdot 2=0,08$,
$(19,2-20{)}^2\cdot 1=0,64\cdot 1=0,64$,
$(19,6-20{)}^2\cdot 2=0,16\cdot 2=0,32$,
$(20,2-20{)}^2\cdot 1=0,04\cdot 1=0,04$,
$(20-20{)}^2\cdot 1=0^2\cdot 1=0$,
$(19,7-20{)}^2\cdot 1=0,09\cdot 1=0,09$,
$(19,9-20{)}^2\cdot 1=0,01\cdot 1=0,01$,
$(19,4-20{)}^2\cdot 1=0,36\cdot 1=0,36$,
$(19,1-20{)}^2\cdot 1=0,81\cdot 1=0,81$.

Сумма всех произведений равна:
$0,75+0,03+1,69+0,18+0,08+0,64+0,32+0,04+0+0,09$

$+0,01+0,36+0,81=5$.

Тогда:
$D=\frac{5}{20}=0,25$.

Стандартное отклонение:
$\sigma =\sqrt{D}=\sqrt{0,25}=0,5$ (см).

Ответ: стандартное отклонение длины кирпича равно $0,5$ см.

в) Определим процент кирпичей, длина которых отличается от средней более чем на $0,2$ см.

Сравниваем с условием: $\mathrm{\mid }{x}_i-20\mathrm{\mid }>0,2$.

Подходящие кирпичи:
$20,5$ (3 раза), $21,3$ (1 раз), $19,2$ (1 раз), $19,6$ (2 раза), $19,1$ (1 раз). Всего $3+1+1+2+1=8$.

Процент:
$\frac{12}{20}\cdot 100\mathrm{\%}=0,6\cdot 100\mathrm{\%}=50\mathrm{\%}$.

Определим процент кирпичей, отличающихся от среднего более чем на величину стандартного отклонения $\sigma =0,5$.

Сравниваем с условием: $\mathrm{\mid }{x}_i-20\mathrm{\mid }>0,5$.

Подходящие кирпичи:
$21,3$ (1 раз), $19,2$ (1 раз), $19,1$ (1 раз). Всего $3$.

Процент:
$\frac{4}{20}\cdot 100\mathrm{\%}=0,2\cdot 100\mathrm{\%}=20\mathrm{\%}$.

Итог:

1) Более чем на $0,2$ см отличаются $50\mathrm{\%}$ кирпичей.

2) Более чем на стандартное отклонение отличаются $20\mathrm{\%}$ кирпичей.