ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 735 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) При уценке холодильника его цена дважды понижалась на одно и то же число процентов. В результате она снизилась на 36%. На сколько процентов она понижалась каждый раз?
б) Цена компьютера сначала была повышена на некоторое количество процентов, а затем снижена на такое же количество процентов. Определите, па сколько процентов была повышена, а затем снижена цена компьютера, если в результате она снизилась на 1%.

а) Пусть $y$ — первоначальная цена холодильника, которая дважды понижалась на $x$ процентов, тогда:
$y \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)^2$ — цена холодильника после уценки;

1) В результате цена снизилась на 36%, значит:
$y \cdot (1 — 0,01x)^2 = y \cdot (1 — 0,36)$;
$1 — 0,02x + 0,0001x^2 = 0,64$;
$0,0001x^2 — 0,02x + 0,36 = 0 \quad | \cdot 10\,000$;
$x^2 — 200x + 3600 = 0$;
$D = 200^2 — 4 \cdot 3600 = 40\,000 — 14\,400 = 25\,600 = 160^2$, тогда:
$x_1 = \frac{200 — 160}{2} = 20$ и $x_2 = \frac{200 + 160}{2} = 180$;

2) Уценка не может превышать 100 процентов:
$x \ne 180$, значит $x = 20\%$;
Ответ: на $20\%$.

б) Пусть $y$ — первоначальная цена компьютера, которая изменялась на $x$ процентов, тогда:
$y \left(1 + \frac{x}{100}\right)$ — стоимость компьютера после повышения цены;
$y \left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 — \frac{x}{100}\right)$ — стоимость компьютера после понижения цены;

1) В результате цена снизилась на 1%, значит:
$y \left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 — \frac{x}{100}\right) = \left(1 — \frac{1}{100}\right) \cdot y$;
$1 — \frac{x^2}{10\,000} = 1 — \frac{1}{100}$;
$\frac{x^2}{10\,000} = \frac{1}{100} \quad | \cdot 10\,000$;
$x^2 = 100$, отсюда $x = \pm 10$;
Ответ: $10\%$.

а) Пусть первоначальная цена холодильника равна $y$. По условию, цена дважды понижалась на одну и ту же величину $x$ процентов. Тогда после первой уценки цена равна:
$y \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)$.

После второй уценки снова применяется тот же коэффициент снижения, следовательно:
$y \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)^2$.

По условию, итоговая цена составляет $64\%$ от первоначальной, так как общее снижение составило $36\%$:
$y \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)^2 = y \cdot (1 — 0,36) = 0,64y$.

Сокращаем на $y$ (так как цена положительна):
$\left(1 — \frac{x}{100}\right)^2 = 0,64$.

Раскроем скобки:
$1 — 2 \cdot \frac{x}{100} + \left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0,64$.

Приведём к стандартному виду:
$\frac{x^2}{10\,000} — \frac{2x}{100} + 1 — 0,64 = 0$.

Упростим:
$0,0001x^2 — 0,02x + 0,36 = 0$.

Умножим обе части на $10\,000$, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x^2 — 200x + 3600 = 0$.

Найдём дискриминант:
$D = (-200)^2 — 4 \cdot 3600 = 40\,000 — 14\,400 = 25\,600$.

$D = 25\,600 = 160^2$.

Вычислим корни:
$x_1 = \frac{200 — 160}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
$x_2 = \frac{200 + 160}{2} = \frac{360}{2} = 180$.

Так как снижение на 180 % невозможно (цена не может быть меньше нуля), остаётся единственное решение:
$x = 20\%$.

Ответ: на $20\%$.

б) Пусть первоначальная цена компьютера равна $y$. Сначала цена увеличивается на $x$ процентов, то есть становится:
$y \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$.

Затем цена уменьшается на те же $x$ процентов:
$y \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1 — \frac{x}{100}\right)$.

Раскроем скобки:
$y \cdot \left(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\right)$.

По условию, итоговая цена меньше первоначальной на 1 %, то есть равна $0,99y$:
$y \cdot \left(1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2\right) = 0,99y$.

Сокращаем на $y$:
$1 — \left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0,99$.

Переносим:
$\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0,01$.

Возводим в степень:
$\frac{x^2}{10\,000} = \frac{1}{100}$.

Умножаем обе части на $10\,000$:
$x^2 = 100$.

Извлекаем корень:
$x = \pm 10$.

Так как изменение задаётся в процентах и берётся по модулю, получаем:
$x = 10$.

Ответ: $10\%$.