ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 730 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Пусть $S_1$ — сумма первых трёх членов геометрической прогрессии $(b_n)$, $S_2$ — сумма второй тройки её членов и $S_3$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $S_1, S_2, S_3$ также является геометрической прогрессией.

2) Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 192, сумма следующих её трёх членов равна 48. Найдите:
а) сумму членов этой прогрессии с седьмого по девятый включительно;
б) сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

1) Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, тогда:
$b_2 = b_1 \cdot q$; $b_3 = b_1 \cdot q^2$; $b_4 = b_1 \cdot q^3$; $b_5 = b_1 \cdot q^4$; $b_6 = b_1 \cdot q^5$;
$b_7 = b_1 \cdot q^6$; $b_8 = b_1 \cdot q^7$;

По условию задачи:
$S_1 = b_1 + b_2 + b_3$;
$S_2 = b_4 + b_5 + b_6$;
$S_3 = b_7 + b_8 + b_9$;

Найдем отношение соседних чисел в последовательности $S_1, S_2, S_3$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{b_4 + b_5 + b_6}{b_1 + b_2 + b_3} = \frac{b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5}{b_1 + b_1q + b_1q^2} = \frac{q^3(b_1 + b_1q + b_1q^2)}{b_1(1 + q + q^2)} = q^3$;
$\frac{S_3}{S_2} = \frac{b_7 + b_8 + b_9}{b_4 + b_5 + b_6} = \frac{b_1q^6 + b_1q^7 + b_1q^8}{b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5} = \frac{q^3(b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5)}{q^3(b_1 + b_1q + b_1q^2)} = q^3$;

Отношение между соседними членами постоянно, значит данная последовательность является геометрической прогрессией;

$S_1 = a_1 + a_2 + a_3 = 192$; $S_2 = a_4 + a_5 + a_6 = 48$; $S_3 = a_7 + a_8 + a_9$;
Числа $S_1; S_2; S_3$ также образуют геометрическую прогрессию;

а) Найдем сумму членов прогрессии с седьмого по девятый:
$q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$;
$S_3 = S_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$;

б) Найдем сумму первых 12 членов исходной прогрессии:
$S_4 = a_{10} + a_{11} + a_{12} = S_3 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$;
$S_{12} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 192 + 48 + 12 + 3 = 255$;

Ответ: а) $12$; б) $255$.

1) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда её члены имеют вид:
$b_2 = b_1 \cdot q$,
$b_3 = b_1 \cdot q^2$,
$b_4 = b_1 \cdot q^3$,
$b_5 = b_1 \cdot q^4$,
$b_6 = b_1 \cdot q^5$,
$b_7 = b_1 \cdot q^6$,
$b_8 = b_1 \cdot q^7$,
$b_9 = b_1 \cdot q^8$.

Теперь рассмотрим суммы троек:
$S_1 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$.
$S_2 = b_4 + b_5 + b_6 = b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 = b_1q^3(1+q+q^2)$.
$S_3 = b_7 + b_8 + b_9 = b_1q^6 + b_1q^7 + b_1q^8 = b_1q^6(1+q+q^2)$.

Теперь находим отношение соседних членов:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{b_1q^3(1+q+q^2)}{b_1(1+q+q^2)} = q^3$.
$\frac{S_3}{S_2} = \frac{b_1q^6(1+q+q^2)}{b_1q^3(1+q+q^2)} = q^3$.

Так как отношение соседних членов постоянно и равно $q^3$, последовательность $(S_1, S_2, S_3)$ является геометрической прогрессией.

2) Известно, что:
$S_1 = a_1 + a_2 + a_3 = 192$.
$S_2 = a_4 + a_5 + a_6 = 48$.

Так как эти суммы образуют геометрическую прогрессию, их отношение равно знаменателю:
$q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{48}{192} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдём следующую сумму:
$S_3 = S_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$.

а) Сумма членов прогрессии с седьмого по девятый включительно равна $S_3$.
Следовательно:
$S_3 = 12$.

б) Теперь найдём сумму первых 12 членов.

Сначала определим ещё одну тройку:
$S_4 = a_{10} + a_{11} + a_{12}$.
Так как тройки также образуют геометрическую прогрессию, имеем:
$S_4 = S_3 \cdot q = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$.

Теперь сумма первых 12 членов равна сумме всех этих групп:
$S_{12} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 192 + 48 + 12 + 3$.

Вычисляем:
$S_{12} = 255$.

Ответ: а) $12$; б) $255$.