ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 729 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии $(b_n)$ сумма первого, второго и третьего членов равна 42, а сумма второго, третьего и четвёртого членов равна 21. Найдите сумму этих четырёх членов геометрической прогрессии.

1) Пусть $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, тогда:
$b_2 = b_1 \cdot q$;
$b_3 = b_1 \cdot q^2$;
$b_4 = b_1 \cdot q^3$;
$\frac{b_1 + b_2 + b_3}{b_2 + b_3 + b_4} = \frac{b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2}{b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 + b_1 \cdot q^3} = \frac{b_1(1 + q + q^2)}{b_1q(1 + q + q^2)} = \frac{1}{q}$;

2) По условию задачи:
$b_1 + b_2 + b_3 = 42$ и $b_2 + b_3 + b_4 = 21$;
$\frac{b_1 + b_2 + b_3}{b_2 + b_3 + b_4} = \frac{42}{21} = 2$;

3) Знаменатель прогрессии:
$\frac{1}{q} = 2$, отсюда $q = \frac{1}{2}$;

4) Первый член прогрессии:
$b_1(1 + q + q^2) = 42$;
$b_1\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 42$;
$b_1 \cdot 1,75 = 42$, отсюда $b_1 = 24$;

5) Сумма первых четырех членов:
$S_4 = \frac{b_1 \cdot (1 — q^4)}{1 — q} = \frac{24 \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1 — \frac{1}{2}} = 24 \cdot 2 \cdot \left(1 — \frac{1}{16}\right) = 48 \cdot \frac{15}{16} = 45$;

Ответ: $45$.

1) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Тогда по определению:
$b_2 = b_1 \cdot q$,
$b_3 = b_1 \cdot q^2$,
$b_4 = b_1 \cdot q^3$.

Сумма первых трёх членов прогрессии:
$b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1+q+q^2)$.

Сумма второго, третьего и четвёртого членов:
$b_2 + b_3 + b_4 = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = b_1q(1+q+q^2)$.

Таким образом, отношение этих сумм равно:
$\frac{b_1 + b_2 + b_3}{b_2 + b_3 + b_4} = \frac{b_1(1+q+q^2)}{b_1q(1+q+q^2)} = \frac{1}{q}$.

2) По условию задачи известно:
$b_1 + b_2 + b_3 = 42$,
$b_2 + b_3 + b_4 = 21$.

Тогда отношение равно:
$\frac{b_1 + b_2 + b_3}{b_2 + b_3 + b_4} = \frac{42}{21} = 2$.

Сравнивая с ранее найденным выражением:
$\frac{1}{q} = 2$.

3) Находим знаменатель прогрессии:
$q = \frac{1}{2}$.

4) Теперь вычислим первый член прогрессии. Используем равенство:
$b_1(1+q+q^2) = 42$.

Подставляем $q = \frac{1}{2}$:
$b_1\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 42$.

Считаем скобку:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Тогда уравнение принимает вид:
$b_1 \cdot \frac{7}{4} = 42$.

Умножим обе части на 4:
$b_1 \cdot 7 = 168$.

Разделим на 7:
$b_1 = 24$.

5) Теперь найдём сумму первых четырёх членов прогрессии. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Подставляем $n = 4$, $b_1 = 24$, $q = \frac{1}{2}$:
$S_4 = \frac{24 \cdot \left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^4\right)}{1 — \frac{1}{2}}$.

Вычисляем:
$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.

Тогда:
$S_4 = \frac{24 \cdot \left(1 — \frac{1}{16}\right)}{\frac{1}{2}}$.

$1 — \frac{1}{16} = \frac{16}{16} — \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Подставим:
$S_4 = \frac{24 \cdot \frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}$.

Сначала считаем числитель:
$24 \cdot \frac{15}{16} = \frac{360}{16} = 22,5$.

Теперь делим на $\frac{1}{2}$, что эквивалентно умножению на 2:
$S_4 = 22,5 \cdot 2 = 45$.

Ответ: $45$.