ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 728 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В геометрической прогрессии $b_3 = 48$, $b_6 = 6$. Найдите $b_{12}$.
б) Существует ли геометрическая прогрессия, в которой $b_3 = \frac{5}{27}$, $b_6 = 5$ и $b_8 = 45$?

а) $b_3 = 48$ и $b_6 = 6$;
$b_3 = b_1 \cdot q^2$, отсюда $b_1 = \frac{b_3}{q^2}$;
$b_6 = b_1 \cdot q^5$, отсюда $b_1 = \frac{b_6}{q^5}$;
$\frac{b_3}{q^2} = \frac{b_6}{q^5} \Rightarrow \frac{q^5}{q^2} = \frac{b_6}{b_3}$;
$q^3 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$;
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$;
$b_1 = 48 : \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 48 \cdot 4 = 192$;
$b_{12} = b_1 \cdot q^{11} = 192 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{11} = \frac{192}{2048} = \frac{3}{32}$;
Ответ: $\frac{3}{32}$.

б) $b_3 = \frac{5}{27}$, $b_6 = 5$ и $b_8 = 45$;
$b_3 = b_1 \cdot q^2$, отсюда $b_1 = \frac{b_3}{q^2}$;
$b_6 = b_1 \cdot q^5$, отсюда $b_1 = \frac{b_6}{q^5}$;
$\frac{b_3}{q^2} = \frac{b_6}{q^5} \Rightarrow \frac{q^5}{q^2} = \frac{b_6}{b_3}$;
$q^3 = 5 : \frac{5}{27} = 5 \cdot \frac{27}{5} = 27$;
$q = \sqrt[3]{27} = 3$;
$b_1 = \frac{5}{3^5}$;
$b_8 = b_1 \cdot q^7 = \frac{5}{3^5} \cdot 3^7 = 5 \cdot 3^2 = 45$;
$b_8 = 45$, значит такая прогрессия существует;
Ответ: да.

а) Дано: в геометрической прогрессии известно $b_3 = 48$ и $b_6 = 6$. Требуется найти $b_{12}$.

По формуле общего члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Для третьего члена:
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 48$.

Для шестого члена:
$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 6$.

Из первого уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{48}{q^2}$.

Из второго уравнения также выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{6}{q^5}$.

Приравняем правые части:
$\frac{48}{q^2} = \frac{6}{q^5}$.

Умножим обе части на $q^5$:
$48q^3 = 6$.

Разделим обе части на 48:
$q^3 = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$.

Извлекаем кубический корень:
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдём $b_1$:
$b_1 = \frac{48}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 48 \cdot 4 = 192$.

Находим $b_{12}$:
$b_{12} = b_1 \cdot q^{11} = 192 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{11}$.

Так как $\left(\frac{1}{2}\right)^{11} = \frac{1}{2048}$, получаем:
$b_{12} = \frac{192}{2048} = \frac{3}{32}$.

Ответ: $\frac{3}{32}$.

б) Дано: $b_3 = \frac{5}{27}$, $b_6 = 5$, $b_8 = 45$. Нужно выяснить, существует ли такая геометрическая прогрессия.

Запишем формулы:
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{5}{27}$.
$b_6 = b_1 \cdot q^5 = 5$.

Из первого уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{\frac{5}{27}}{q^2} = \frac{5}{27q^2}$.

Из второго уравнения выразим $b_1$:
$b_1 = \frac{5}{q^5}$.

Приравняем:
$\frac{5}{27q^2} = \frac{5}{q^5}$.

Сократим на 5 и умножим обе части на $27q^5$:
$q^3 = 27$.

Извлекаем кубический корень:
$q = \sqrt[3]{27} = 3$.

Теперь найдём $b_1$:
$b_1 = \frac{5}{q^5} = \frac{5}{3^5} = \frac{5}{243}$.

Проверим значение восьмого члена:
$b_8 = b_1 \cdot q^7 = \frac{5}{243} \cdot 3^7$.

Так как $3^7 = 2187$, а $\frac{2187}{243} = 9$, то:
$b_8 = 5 \cdot 9 = 45$.

Это совпадает с условием задачи.

Значит, такая геометрическая прогрессия действительно существует.

Ответ: да.