ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 727 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$. Докажите, что:
а) все члены этой прогрессии с чётными номерами также образуют геометрическую прогрессию;
б) все члены этой прогрессии с нечётными номерами также образуют геометрическую прогрессию.

а) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, состоящую из всех членов этой прогрессии, стоящих на четных местах:
$c_n = b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1}$;
$c_{n+1} = b_1 \cdot q^{2(n+1)-1} = b_1 \cdot q^{2n+1}$;
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n+1}}{b_1 \cdot q^{2n-1}} = q^{2n+1 — (2n-1)} = q^2$;
Отношение между соседними членами последовательности постоянно, значит она является геометрической прогрессией;

б) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, состоящую из всех членов этой прогрессии, стоящих на нечетных местах:
$c_n = b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{2n-2}$;
$c_{n+1} = b_1 \cdot q^{2(n+1)-2} = b_1 \cdot q^{2n}$;
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n}}{b_1 \cdot q^{2n-2}} = q^{2n — (2n-2)} = q^2$;
Отношение между соседними членами последовательности постоянно, значит она является геометрической прогрессией;

а) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$. По определению её общий член выражается формулой:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель.

Рассмотрим теперь подпоследовательность, составленную из членов с чётными номерами:
$c_n = b_{2n}$.

Подставим формулу общего члена:
$c_n = b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1}$.

Найдём следующий член этой подпоследовательности:
$c_{n+1} = b_{2(n+1)} = b_1 \cdot q^{2(n+1)-1} = b_1 \cdot q^{2n+1}$.

Теперь вычислим отношение соседних членов:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n+1}}{b_1 \cdot q^{2n-1}}$.

Сокращая общий множитель $b_1$, получаем:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = q^{(2n+1) — (2n-1)} = q^2$.

Так как это отношение всегда постоянно и не зависит от $n$, то подпоследовательность $(c_n)$, образованная членами с чётными номерами, также является геометрической прогрессией. Её знаменатель равен $q^2$.

б) Теперь рассмотрим подпоследовательность, составленную из членов с нечётными номерами:
$c_n = b_{2n-1}$.

Подставляем формулу:
$c_n = b_{2n-1} = b_1 \cdot q^{(2n-1)-1} = b_1 \cdot q^{2n-2}$.

Рассмотрим следующий член:
$c_{n+1} = b_{2(n+1)-1} = b_{2n+1} = b_1 \cdot q^{(2n+1)-1} = b_1 \cdot q^{2n}$.

Теперь вычислим отношение соседних членов:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n}}{b_1 \cdot q^{2n-2}}$.

Сокращая множитель $b_1$, получаем:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = q^{2n — (2n-2)} = q^2$.

Так как это отношение также постоянно и не зависит от $n$, последовательность $(c_n)$, составленная из членов с нечётными номерами, также является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q^2$.