ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 726 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите сумму:
а) ${50}^2-{49}^2+{48}^2-{47}^2+\dots +4^2-3^2+2^2-1^2$;
б) $1^2-2^2+3^2-4^2+\dots +{97}^2-{98}^2+{99}^2-{100}^2$.

Указание. Упростите выражение, воспользовавшись формулой разности квадратов.

а) ${50}^2-{49}^2+{48}^2-{47}^2+\cdots +2^2-1^2=(50-49)(50+49)+(48-47)(48+47)+$

$\cdots +(2-1)(2+1)=50+49+\cdots +2+1$;
Числа образуют арифметическую прогрессию:
$a_1=50$ и $d=49-50=-1$;
$a_n=a_1+d(n-1)=1$;
$50-n+1=1$;
$n=50+1-1$;
$n=50$;
$S_{50}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{1+50}{2}\cdot 50=51\cdot 25=1275$;
Ответ: $1275$.

б) $1^2-2^2+\cdots +{99}^2-{100}^2=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)$

$+\cdots +(99-100)(99+100)=-1-2-\cdots -99-100$;
Числа образуют арифметическую прогрессию:
$a_1=-1$ и $d=-2-(-1)=-1$;
$a_n=a_1+d(n-1)=-100$;
$-1-n+1=-100$;
$n=100-1+1$;
$n=100$;
$S_{100}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{-1-100}{2}\cdot 100=-101\cdot 50=-5050$;
Ответ: $-5050$.

а) Дано выражение:
${50}^2-{49}^2+{48}^2-{47}^2+\cdots +4^2-3^2+2^2-1^2$.

Каждое слагаемое — это разность квадратов двух последовательных чисел:
$(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)$.

Применим формулу разности квадратов:
${50}^2-{49}^2=(50-49)(50+49)=1\cdot 99=99$;
${48}^2-{47}^2=(48-47)(48+47)=1\cdot 95=95$;
${46}^2-{45}^2=(46-45)(46+45)=1\cdot 91=91$.

И так далее, до:
$2^2-1^2=(2-1)(2+1)=1\cdot 3=3$.

Таким образом, вся сумма сводится к последовательности нечётных чисел от 99 до 3 с шагом $-4$:
$99+95+91+\cdots +3$.

Теперь заметим, что это арифметическая прогрессия:
первый член $a_1=99$, разность $d=-4$.

Чтобы найти количество членов, используем формулу общего члена:
$a_n=a_1+(n-1)d$.

Подставим последнее значение $a_n=3$:
$3=99+(n-1)(-4)$.
$3=99-4n+4$.
$3=103-4n$.
$4n=100$.
$n=25$.

Таким образом, сумма состоит из 25 членов.

Сумма арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Подставляем:
$S_{25}=\frac{99+3}{2}\cdot 25=\frac{102}{2}\cdot 25=51\cdot 25=1275$.

Ответ: $1275$.

б) Дано выражение:
$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +{97}^2-{98}^2+{99}^2-{100}^2$.

Разобьём его на пары:
$1^2-2^2=(1-2)(1+2)=-1\cdot 3=-3$.
$3^2-4^2=(3-4)(3+4)=-1\cdot 7=-7$.
$5^2-6^2=(5-6)(5+6)=-1\cdot 11=-11$.

Таким образом, получаем сумму отрицательных нечётных чисел:
$-3-7-11-\cdots -199$.

Проверим последнее слагаемое:
${99}^2-{100}^2=(99-100)(99+100)=-1\cdot 199=-199$.
Да, последовательность совпадает.

Значит, это арифметическая прогрессия:
первый член $a_1=-3$, разность $d=-4$, последний член $a_n=-199$.

Найдём количество членов:
$a_n=a_1+(n-1)d$.

Подставим:
$-199=-3+(n-1)(-4)$.
$-199=-3-4n+4$.
$-199=1-4n$.
$-200=-4n$.
$n=50$.

Таким образом, сумма состоит из 50 членов.

Сумма арифметической прогрессии:
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Подставляем:
$S_{50}=\frac{-3+(-199)}{2}\cdot 50=\frac{-202}{2}\cdot 50=-101\cdot 50=-5050$.

Ответ: $-5050$.