ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 725 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии сумма первых пяти членов равна сумме первых семи членов. Докажите, что сумма первых двенадцати членов этой прогрессии равна нулю.

1) Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, тогда:
$a_6 = a_1 + 5d$ и $a_7 = a_1 + 6d$;
$S_{1-5} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$;
$S_{1-7} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$;

2) Сумма первых пяти членов равна сумме первых семи членов, значит:
$S_{1-5} = S_{1-7}$;
$S_{1-7} — S_{1-5} = 0$;
$a_6 + a_7 = 0$;
$a_1 + 5d + a_1 + 6d = 0$;
$2a_1 = -11d$;

3) Сумма первых 12 членов прогрессии:
$S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12 = \frac{-11d + 11d}{2} \cdot 12 = 0$;
Что и требовалось доказать.

1) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По формуле общего члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Тогда шестой член:
$a_6 = a_1 + 5d$.
Седьмой член:
$a_7 = a_1 + 6d$.

Теперь запишем суммы. Сумма первых пяти членов:
$S_{1-5} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$.

Сумма первых семи членов:
$S_{1-7} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$.

2) По условию задачи сказано, что сумма первых пяти членов равна сумме первых семи членов, то есть:
$S_{1-5} = S_{1-7}$.

Переносим:
$S_{1-7} — S_{1-5} = 0$.

Но $S_{1-7} — S_{1-5} = a_6 + a_7$, так как в $S_{1-7}$ есть все члены от $a_1$ до $a_7$, а в $S_{1-5}$ только до $a_5$.

Следовательно,
$a_6 + a_7 = 0$.

Теперь подставим выражения для $a_6$ и $a_7$:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 6d) = 0$.
$2a_1 + 11d = 0$.

Переносим:
$2a_1 = -11d$.

Таким образом, первый член выражается через разность прогрессии.

3) Теперь найдём сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии. Формула суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим $n = 12$:
$S_{12} = \frac{2a_1 + 11d}{2} \cdot 12$.

Но мы ранее показали, что $2a_1 = -11d$. Подставим:
$2a_1 + 11d = -11d + 11d = 0$.

Следовательно:
$S_{12} = \frac{0}{2} \cdot 12 = 0$.

Таким образом, сумма первых двенадцати членов равна нулю.

Что и требовалось доказать.