ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 724 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Пусть $S_1$ — сумма первых трёх членов арифметической прогрессии $(a_n)$, $S_2$ — сумма второй тройки её членов и $S_3$ — сумма третьей тройки членов этой прогрессии. Докажите, что последовательность чисел $S_1, S_2, S_3$ также является арифметической прогрессией.

2) Сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии равна 14, сумма следующих её четырёх членов равна 46. Найдите:
а) сумму членов этой прогрессии с девятого по двенадцатый включительно;
б) сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.

1) Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, тогда:
$a_2 = a_1 + d$; $a_3 = a_1 + 2d$; $a_4 = a_1 + 3d$; $a_5 = a_1 + 4d$;
$a_6 = a_1 + 5d$; $a_7 = a_1 + 6d$; $a_8 = a_1 + 7d$; $a_9 = a_1 + 8d$;

По условию задачи:
$S_1 = a_1 + a_2 + a_3 = a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 3a_1 + 3d$;
$S_2 = a_4 + a_5 + a_6 = a_1 + 3d + a_1 + 4d + a_1 + 5d = 3a_1 + 12d$;
$S_3 = a_7 + a_8 + a_9 = a_1 + 6d + a_1 + 7d + a_1 + 8d = 3a_1 + 21d$;

Разность последовательности $S_1; S_2; S_3$:
$S_2 — S_1 = 3a_1 + 12d — 3a_1 — 3d = 9d$;
$S_3 — S_2 = 3a_1 + 21d — 3a_1 — 12d = 9d$;

Разность соседних членов постоянна, значит последовательность является арифметической прогрессией;

2) Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, тогда:
$S_{1-4} = a_1 + \cdots + a_4 = a_1 + a_1 + d + \cdots + a_1 + 3d = 4a_1 + 6d$;
$S_{5-8} = a_5 + \cdots + a_8 = a_1 + 4d + \cdots + a_1 + 7d = 4a_1 + 22d$;
$S_{9-12} = a_9 + \cdots + a_{12} = a_1 + 8d + \cdots + a_1 + 11d = 4a_1 + 38d$;

По условию задачи:
$S_{1-4} = 14$ и $S_{5-8} = 46$;
$46 — 14 = 4a_1 + 22d — 4a_1 — 6d$;
$16d = 32$, отсюда $d = 2$;

Первый член последовательности:
$S_{1-4} = 4a_1 + 6d$, отсюда $a_1 = \frac{S_{1-4} — 6d}{4}$;
$a_1 = \frac{14 — 6 \cdot 2}{4} = \frac{14 — 12}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$;

а) $S_{9-12} = 4 \cdot 0,5 + 38 \cdot 2 = 2 + 76 = 78$;
б) $S_{16} = \frac{2a_1 + 15d}{2} \cdot 16 = (2 \cdot 0,5 + 15 \cdot 2) \cdot 8 = (1 + 30) \cdot 8 = 31 \cdot 8 = 248$;

Ответ: а) $78$; б) $248$.

1) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По определению арифметической прогрессии каждый член имеет вид:
$a_n = a_1 + (n-1)d$.

Запишем первые девять членов:
$a_1 = a_1$;
$a_2 = a_1 + d$;
$a_3 = a_1 + 2d$;
$a_4 = a_1 + 3d$;
$a_5 = a_1 + 4d$;
$a_6 = a_1 + 5d$;
$a_7 = a_1 + 6d$;
$a_8 = a_1 + 7d$;
$a_9 = a_1 + 8d$.

Теперь по условию введём суммы трёх подряд идущих членов:

$S_1 = a_1 + a_2 + a_3 = (a_1) + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d$.

$S_2 = a_4 + a_5 + a_6 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) = 3a_1 + 12d$.

$S_3 = a_7 + a_8 + a_9 = (a_1 + 6d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 8d) = 3a_1 + 21d$.

Теперь рассмотрим разности:
$S_2 — S_1 = (3a_1 + 12d) — (3a_1 + 3d) = 9d$.
$S_3 — S_2 = (3a_1 + 21d) — (3a_1 + 12d) = 9d$.

Мы видим, что разность соседних членов последовательности $S_1, S_2, S_3$ постоянна и равна $9d$. Следовательно, эта новая последовательность также является арифметической прогрессией.

2) Пусть арифметическая прогрессия $(a_n)$ имеет первый член $a_1$ и разность $d$.

Сумма первых четырёх членов равна:
$S_{1-4} = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$.
Используя формулы:
$a_2 = a_1 + d$,
$a_3 = a_1 + 2d$,
$a_4 = a_1 + 3d$.

Тогда:
$S_{1-4} = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 4a_1 + 6d$.

Сумма членов с пятого по восьмой:
$S_{5-8} = a_5 + a_6 + a_7 + a_8$.
А это:
$a_5 = a_1 + 4d$,
$a_6 = a_1 + 5d$,
$a_7 = a_1 + 6d$,
$a_8 = a_1 + 7d$.

Тогда:
$S_{5-8} = (a_1 + 4d) + (a_1 + 5d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 7d) = 4a_1 + 22d$.

Сумма членов с девятого по двенадцатый:
$S_{9-12} = a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12}$.
Используем формулы:
$a_9 = a_1 + 8d$,
$a_{10} = a_1 + 9d$,
$a_{11} = a_1 + 10d$,
$a_{12} = a_1 + 11d$.

Тогда:
$S_{9-12} = (a_1 + 8d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 10d) + (a_1 + 11d) = 4a_1 + 38d$.

Теперь используем условия задачи:
$S_{1-4} = 14$, $S_{5-8} = 46$.

Подставляем:
$4a_1 + 6d = 14$;
$4a_1 + 22d = 46$.

Вычтем первое уравнение из второго:
$(4a_1 + 22d) — (4a_1 + 6d) = 46 — 14$.
$16d = 32$.
$d = 2$.

Теперь найдём $a_1$:
$4a_1 + 6 \cdot 2 = 14$.
$4a_1 + 12 = 14$.
$4a_1 = 2$.
$a_1 = 0,5$.

а) Сумма членов с девятого по двенадцатый:
$S_{9-12} = 4a_1 + 38d = 4 \cdot 0,5 + 38 \cdot 2 = 2 + 76 = 78$.

б) Сумма первых шестнадцати членов:
Формула: $S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d)}{2} \cdot n$.

Подставляем: $S_{16} = \frac{(2 \cdot 0,5 + 15 \cdot 2)}{2} \cdot 16$.
В скобках: $2 \cdot 0,5 = 1$, $15 \cdot 2 = 30$.
$2a_1 + 15d = 1 + 30 = 31$.
$S_{16} = \frac{31}{2} \cdot 16 = 31 \cdot 8 = 248$.

Ответ: а) $78$; б) $248$.