ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 722 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. Чему равна разность этой прогрессии?
б) Докажите, что последовательность натуральных чисел, которые при делении на $k$ дают в остатке $r$, является арифметической прогрессией с разностью $k$.

а) Числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2:
$a_1 = 3 + 2 = 5$;
$a_n = 3n + 2$;
$a_{n+1} = 3(n + 1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$;
$d = a_{n+1} — a_n = (3n + 5) — (3n + 2) = 3$;
Разность соседних членов постоянна, значит данная последовательность является арифметической прогрессией;
Ответ: $d = 3$.

б) Числа, которые при делении на $k$ дают в остатке $r$:
$a_1 = k + r$;
$a_n = kn + r$;
$a_{n+1} = k(n + 1) + r = kn + k + r$;
$d = a_{n+1} — a_n = (kn + k + r) — (kn + r) = k$;
Разность соседних членов постоянна и равна $k$, значит последовательность является арифметической прогрессией;

а) Рассмотрим множество всех натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2. Это означает, что каждое такое число можно записать в виде:
$a_n = 3n + 2$, где $n$ — натуральное число.

Для наглядности вычислим первые несколько членов этой последовательности:
при $n = 1$: $a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$;
при $n = 2$: $a_2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$;
при $n = 3$: $a_3 = 3 \cdot 3 + 2 = 11$;
при $n = 4$: $a_4 = 3 \cdot 4 + 2 = 14$.

Теперь проверим, является ли эта последовательность арифметической прогрессией. Для этого необходимо убедиться, что разность между соседними членами постоянна.

Вычислим:
$a_{n+1} = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5$.

Разность:
$d = a_{n+1} — a_n = (3n + 5) — (3n + 2) = 3$.

Таким образом, разность постоянна и равна 3. Это доказывает, что последовательность чисел, которые при делении на 3 дают остаток 2, действительно является арифметической прогрессией.

Ответ: $d = 3$.

б) Теперь рассмотрим общий случай: последовательность натуральных чисел, которые при делении на $k$ дают остаток $r$. Это означает, что каждое число в последовательности имеет вид:
$a_n = kn + r$, где $n$ — натуральное число.

Проверим первые члены последовательности:
при $n = 1$: $a_1 = k \cdot 1 + r = k + r$;
при $n = 2$: $a_2 = k \cdot 2 + r = 2k + r$;
при $n = 3$: $a_3 = k \cdot 3 + r = 3k + r$.

Вычислим выражение для следующего члена:
$a_{n+1} = k(n+1) + r = kn + k + r$.

Разность между соседними членами:
$d = a_{n+1} — a_n = (kn + k + r) — (kn + r) = k$.

Разность постоянна и равна $k$. Следовательно, последовательность чисел, которые при делении на $k$ дают остаток $r$, является арифметической прогрессией с разностью $k$.

Ответ: $d = k$.