ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 720 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для каждой последовательности, заданной рекуррентным способом, запишите формулу n-го члена:
а) $a_1 = 12, \; a_{n+1} = a_n — 5$;
б) $a_1 = -3, \; a_{n+1} = a_n + 5$;
в) $b_1 = 24, \; b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$;
г) $b_1 = 2, \; b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$.

а) $a_1 = 12$, $a_{n+1} = a_n — 5$;
Дана арифметическая прогрессия: $d = -5$;
$a_n = a_1 + d(n — 1) = 12 — 5(n — 1) = 12 — 5n + 5 = 17 — 5n$;

б) $a_1 = -3$, $a_{n+1} = a_n + 5$;
Дана арифметическая прогрессия: $d = 5$;
$a_n = a_1 + d(n — 1) = -3 + 5(n — 1) = -3 + 5n — 5 = 5n — 8$;

в) $b_1 = 24$, $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$;
Дана геометрическая прогрессия: $q = \frac{1}{2}$;
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 3 \cdot 2^3 \cdot 2^{1-n} = 3 \cdot 2^{4-n}$;

г) $b_1 = 2$, $b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$;
Дана геометрическая прогрессия: $q = -3$;
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot (-3)^{n-1}$;

а) Последовательность задана рекуррентно: $a_1 = 12$, $a_{n+1} = a_n — 5$.
Такое задание означает, что каждый следующий член последовательности получается вычитанием 5 из предыдущего. Это характерно для арифметической прогрессии. Разность арифметической прогрессии равна $d = -5$.

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$a_n = a_1 + (n — 1)d$.
Подставим значения: $a_n = 12 + (n — 1)(-5)$.
Раскроем скобки: $a_n = 12 — 5n + 5$.
Приведём подобные: $a_n = 17 — 5n$.

Итак, каждый член вычисляется по формуле $a_n = 17 — 5n$.

б) Последовательность: $a_1 = -3$, $a_{n+1} = a_n + 5$.
Здесь каждый следующий член получается прибавлением 5 к предыдущему, то есть снова арифметическая прогрессия. Разность равна $d = 5$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n — 1)d$.
Подставим: $a_n = -3 + (n — 1)\cdot 5$.
Раскроем: $a_n = -3 + 5n — 5$.
Приведём: $a_n = 5n — 8$.

Таким образом, общее выражение: $a_n = 5n — 8$.

в) Последовательность: $b_1 = 24$, $b_{n+1} = \frac{b_n}{2}$.
Каждый следующий член равен половине предыдущего. Это геометрическая прогрессия. Знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Общая формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим: $b_n = 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.
Можно упростить: $b_n = 24 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{24}{2^{n-1}}$.
Заметим, что $24 = 3 \cdot 2^3$. Тогда: $b_n = 3 \cdot 2^3 \cdot 2^{-(n-1)} = 3 \cdot 2^{3 — (n-1)} = 3 \cdot 2^{4 — n}$.

Итак, формула имеет вид: $b_n = 3 \cdot 2^{4-n}$.

г) Последовательность: $b_1 = 2$, $b_{n+1} = b_n \cdot (-3)$.
Каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на $-3$. Это геометрическая прогрессия. Знаменатель $q = -3$.

Общая формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим: $b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.

Следовательно, n-й член последовательности задаётся формулой: $b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.