ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 719 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Последовательность задана формулой:
а) $a_n = \frac{n + 1}{n}$; б) $b_n = \frac{2n — 1}{n}$;
Для каждой последовательности:

1) вычислите первые пять её членов;

2) определите, возрастающей или убывающей является последовательность, и докажите это;

3) найдите какой-нибудь промежуток, которому принадлежат все члены этой последовательности.

а) $a_n = \frac{n + 1}{n}$;

1) Первые пять членов последовательности:
$a_1 = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$;
$a_2 = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
$a_3 = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$;
$a_4 = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$;
$a_5 = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$;
Последовательность: $2; 1\frac{1}{2}; 1\frac{1}{3}; 1\frac{1}{4}; 1\frac{1}{5} \ldots$

2) Последовательность убывает:
$a_n = 1 + \frac{1}{n}$, $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{n + 1}$;
$a_n — a_{n+1} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{n(n + 1)} > 0$;
значит $a_n > a_{n+1}$.

3) Промежуток:
$\lim_{n \to \infty} a_n = 1$, максимум при $n=1$: $a_1 = 2$;
ответ: $a_n \in [1; 2]$.

б) $b_n = \frac{2n — 1}{n}$;

1) Первые пять членов последовательности:
$b_1 = \frac{2 \cdot 1 — 1}{1} = 1$;
$b_2 = \frac{2 \cdot 2 — 1}{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$;
$b_3 = \frac{2 \cdot 3 — 1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$;
$b_4 = \frac{2 \cdot 4 — 1}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$;
$b_5 = \frac{2 \cdot 5 — 1}{5} = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$;
Последовательность: $1; 1\frac{1}{2}; 1\frac{2}{3}; 1\frac{3}{4}; 1\frac{4}{5} \ldots$

2) Последовательность возрастает:
$b_n = 2 — \frac{1}{n}$, $b_{n+1} = 2 — \frac{1}{n + 1}$;
$b_{n+1} — b_n = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} > 0$;
значит $b_{n+1} > b_n$.

3) Промежуток:
$\lim_{n \to \infty} b_n = 2$, минимум при $n=1$: $b_1 = 1$;
ответ: $b_n \in [1; 2]$.

а) Последовательность $a_n = \frac{n + 1}{n}$.

Вычисляем первые пять членов.
Для $n = 1$: $a_1 = \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2$.
Для $n = 2$: $a_2 = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Для $n = 3$: $a_3 = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1,333…$.
Для $n = 4$: $a_4 = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Для $n = 5$: $a_5 = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$.
Первые члены: $2; 1,5; 1,333…; 1,25; 1,2$.

Исследуем монотонность.
Запишем: $a_n = 1 + \frac{1}{n}$. Для следующего члена: $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{n+1}$.
Вычисляем разность:
$a_n — a_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) — \left(1 + \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}$.
Приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) — n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$.
Так как $n$ — натуральное число, то $n(n+1) > 0$, следовательно $\frac{1}{n(n+1)} > 0$. Это означает, что $a_n > a_{n+1}$, значит последовательность убывающая.

Определяем границы значений.
При $n = 1$: $a_1 = 2$ — это наибольший член.
При $n \to \infty$: $a_n = 1 + \frac{1}{n} \to 1$. То есть наименьшее значение стремится к 1, но никогда не достигается, поэтому нижняя граница равна 1, а верхняя — 2.
Следовательно, все члены принадлежат промежутку: $a_n \in (1; 2]$.

б) Последовательность $b_n = \frac{2n — 1}{n}$.

Вычисляем первые пять членов.
Для $n = 1$: $b_1 = \frac{2 \cdot 1 — 1}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
Для $n = 2$: $b_2 = \frac{2 \cdot 2 — 1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Для $n = 3$: $b_3 = \frac{2 \cdot 3 — 1}{3} = \frac{5}{3} \approx 1,667$.
Для $n = 4$: $b_4 = \frac{2 \cdot 4 — 1}{4} = \frac{7}{4} = 1,75$.
Для $n = 5$: $b_5 = \frac{2 \cdot 5 — 1}{5} = \frac{9}{5} = 1,8$.
Первые члены: $1; 1,5; 1,667; 1,75; 1,8$.

Исследуем монотонность.
Запишем: $b_n = 2 — \frac{1}{n}$. Для следующего члена: $b_{n+1} = 2 — \frac{1}{n+1}$.
Вычислим разность:
$b_{n+1} — b_n = \left(2 — \frac{1}{n+1}\right) — \left(2 — \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}$.
Приведём к общему знаменателю: $\frac{1}{n} — \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) — n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$.
Так как $n$ — натуральное число, знаменатель положителен, значит выражение больше нуля: $b_{n+1} — b_n > 0$. Это означает, что $b_{n+1} > b_n$, следовательно, последовательность возрастает.

Определяем границы значений.
При $n = 1$: $b_1 = 1$ — это наименьший член.
При $n \to \infty$: $b_n = 2 — \frac{1}{n} \to 2$. Это наибольшая граница, которую члены стремятся достичь, но никогда не превосходят.
Значит, все члены последовательности принадлежат промежутку: $b_n \in [1; 2)$.