ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 655 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Середины сторон прямоугольника соединили отрезками и получили ромб. Середины сторон ромба соединили отрезками и получили прямоугольник и т. д. (рис. 4.14). Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

а) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом — является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $\frac{3}{4}$ см${}^2$, то чему равна площадь исходного прямоугольника?

1) Все данные четырехугольники являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

2) Пусть стороны первого прямоугольника равны $x$ и $y$, тогда его площадь составляет:

$$S_1=xy;$$

3) Диагонали второго параллелограмма (ромба) равны сторонам первого, значит его площадь составляет:

$$S_2=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}{S}_1;$$

4) Стороны третьего параллелограмма (прямоугольника) равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от ромба диагональю), значит его площадь равна:

$$S_3=\left(\frac{1}{2}x\right)\cdot \left(\frac{1}{2}y\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}{S}_2;$$

5) Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

6) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$q=\frac{1}{2}\text{и}{S}_n=S_1\cdot q^{n-1}=S_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};$$

а) Восьмой по счёту фигурой является ромб (четный номер):

$$S_8=S_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{3}{4};$$$$\frac{S_1}{2^7}=\frac{3}{4},\text{отсюда}{S}_1=\frac{3}{2^2}\cdot 2^7=3\cdot 2^5=3\cdot 32=96{\text{(см}}^2\text{)};$$

б) Номер четырехугольника, площадь которого равна 6 см${}^2$:

$$b_n=96\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=6;$$

$$$$$$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{6}{96};$$

$$$$$$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{16};$$

$$$$$$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^4};$$

$$$$$$n-1=4;$$

$$$$$$n=4+1=5;$$

Номер фигуры нечётный, значит она является прямоугольником;

Ответ: пятого; прямоугольник.

Все данные четырехугольники являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

Пусть стороны первого прямоугольника равны $x$ и $y$, тогда его площадь составляет:

$$S_1=xy;$$

Диагонали второго параллелограмма (ромба) равны сторонам первого, значит его площадь составляет:

$$S_2=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}{S}_1;$$

Стороны третьего параллелограмма (прямоугольника) равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от ромба диагональю), значит его площадь равна:

$$S_3=\left(\frac{1}{2}x\right)\cdot \left(\frac{1}{2}y\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}{S}_2;$$

Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$q=\frac{1}{2}\text{и}{S}_n=S_1\cdot q^{n-1}=S_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1};$$

а) Восьмой по счёту фигурой является ромб (четный номер):

$$S_8=S_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{3}{4};$$$$\frac{S_1}{2^7}=\frac{3}{4},\text{отсюда}{S}_1=\frac{3}{2^2}\cdot 2^7=3\cdot 2^5=3\cdot 32=96{\text{(см}}^2\text{)};$$

б) Номер четырехугольника, площадь которого равна 6 см${}^2$:

$$b_n=96\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=6;$$

$$$$$$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{6}{96};$$

$$$$$$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{16};$$

$$$$$$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^4};$$

$$$$$$n-1=4;$$

$$$$$$n=4+1=5;$$

Номер фигуры нечётный, значит она является прямоугольником;

Ответ: пятого; прямоугольник.