ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 654 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Дан треугольник, периметр которого равен 64 см. Середины сторон этого треугольника являются вершинами второго треугольника, середины сторон второго треугольника являются вершинами третьего треугольника и т. д. (рис. 4.13).
а) Найдите периметр восьмого треугольника.
б) Периметр какого по счёту треугольника равен 4 см?

Стороны каждого треугольника начиная со второго являются средними линиями предыдущего, значит их периметр равен половине периметра предыдущего треугольника;

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$b_1=64$ и $q=\frac{1}{2}$;

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=64\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2^6\cdot 2^{1-n}=2^{7-n}$;

а) Периметр восьмого треугольника:

$b_8=2^{7-8}=2^{-1}=\frac{1}{2}$ (см);

б) Номер треугольника, периметр которого равен 4 см:

$b_n=2^{7-n}=4$;

$2^{7-n}=2^2$;

$7-n=2$;

$n=7-2=5$;

Ответ: 5.

Даны геометрическая прогрессия, в которой $b_1=64$ и $q=\frac{1}{2}$.

Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}\mathrm{.}$$

Подставим известные значения $b_1=64$ и $q=\frac{1}{2}$ в эту формулу:

$$b_n=64\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$

Чтобы упростить выражение, представим 64 как степень числа 2:

$$b_n=2^6\cdot {\left(2^{-1}\right)}^{n-1}=2^6\cdot 2^{-(n-1)}=2^{6-(n-1)}=2^{7-n}\mathrm{.}$$

Таким образом, общая формула для $n$-го члена прогрессии:

$$b_n=2^{7-n}\mathrm{.}$$

а) Периметр восьмого треугольника. Для нахождения периметра восьмого треугольника, подставляем $n=8$ в формулу для $b_n$:

$$b_8=2^{7-8}=2^{-1}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: периметр восьмого треугольника равен $\frac{1}{2}$ см.

б) Номер треугольника, периметр которого равен 4 см. Для того чтобы найти номер треугольника, периметр которого равен 4 см, подставим $b_n=4$ в формулу для $b_n$:

$$b_n=2^{7-n}=4.$$

Теперь решим это уравнение:

$$2^{7-n}=4.$$

Преобразуем 4 в степень числа 2:

$$2^{7-n}=2^2\mathrm{.}$$

Теперь, приравниваем показатели степеней числа 2:

$$7-n=2.$$

Решаем для $n$:

$$n=7-2=5.$$

Ответ: номер треугольника, периметр которого равен 4 см, равен 5.