ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 562 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два мотоциклиста одновременно стартовали по шоссе на 100 км. Известно, что первый мотоциклист пришёл к финишу на 6 мин 40 с раньше второго и каждые 100 м проезжал за то время, за которое второй проезжал 90 м. Найдите скорость первого мотоциклиста.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого мотоциклиста и $y$ км/ч — скорость второго мотоциклиста, тогда:

$\frac{0.1}{x}$ ч — время, которое тратит на каждые 100 м первый мотоциклист;

$\frac{0.09}{y}$ ч — время, которое тратит на каждые 90 м второй мотоциклист;

$\frac{100}{x}$ ч — время, которое затратил первый мотоциклист на весь путь;

$\frac{100}{y}$ ч — время, которое затратил второй мотоциклист на весь путь;

2) Первый мотоциклист на каждые 100 м пути тратит столько же времени, сколько второй — на каждые 90 м пути, значит:

$\frac{0.1}{x}=\frac{0.09}{y}\mathrm{\mid }\cdot xy;$

$0.1y=0.09x\mathrm{\mid }\cdot 100;$

$10y=9x;$

3) 6 мин 40 с $=\frac{6}{60}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\frac{2}{180}=\frac{18+2}{180}=\frac{20}{180}=\frac{1}{9}$ (ч);

4) Первый мотоциклист приехал к финишу на 6 мин 40 с раньше второго, значит:

$\{\begin{array}{l}\frac{100}{x}+\frac{1}{9}=\frac{100}{y}\\ 10y=9x\end{array}=>\{\begin{array}{l}\frac{100}{x}-\frac{100}{y}+\frac{1}{9}=0\\ y=\frac{9x}{10}\end{array};$

$\frac{100}{x}-\frac{1000}{9x}+\frac{1}{9}=0\mathrm{\mid }\cdot 9x;$

$100\cdot 9-1000+x=0;$

$900-1000+x=0;$

$x=1000-900;$

$x=100$ (км/ч);

Ответ: 100 км/ч.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого мотоциклиста и $y$ км/ч — скорость второго мотоциклиста, тогда:

• Время, которое тратит первый мотоциклист на каждые 100 м, вычисляется как $\frac{0.1}{x}$ ч, так как 100 м составляет $0.1$ км.
• Время, которое тратит второй мотоциклист на каждые 90 м, вычисляется как $\frac{0.09}{y}$ ч, так как 90 м составляет $0.09$ км.
• Время, которое затратил первый мотоциклист на весь путь, вычисляется как $\frac{100}{x}$ ч, где 100 км — это общий путь, который он преодолел.
• Время, которое затратил второй мотоциклист на весь путь, вычисляется как $\frac{100}{y}$ ч.

2) Из условия задачи, что первый мотоциклист через 30 мин $\left(\frac{1}{2}\text{ ч}\right)$ опережал второго на 500 м $\left(\frac{1}{2}\text{ км}\right)$, получаем уравнение:

$$0.5x-0.5y=\mathrm{0.5.}$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$x-y=1.$$

Это уравнение выражает зависимость между скоростями двух мотоциклистов.

3) Из условия задачи, что первый мотоциклист пришел к финишу на 5 минут (или $\frac{1}{12}$ ч) раньше второго, получаем систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\frac{100}{x}+\frac{1}{12}=\frac{100}{y}\\ x-y=1\end{array}\mathrm{.}$$

Из второго уравнения $x-y=1$ выразим $y$ через $x$:

$$y=x-1.$$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$$\frac{100}{x}+\frac{1}{12}=\frac{100}{x-1}\mathrm{.}$$

Теперь умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

$$12\cdot \frac{100}{x}+1=12\cdot \frac{100}{x-1}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$\frac{1200}{x}+1=\frac{1200}{x-1}\mathrm{.}$$

Переносим все на одну сторону:

$$\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x-1}=-1.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1200(x-1)-1200x}{x(x-1)}=-1.$$

Упростим числитель:

$$\frac{1200x-1200-1200x}{x(x-1)}=-1\Rightarrow \frac{-1200}{x(x-1)}=-1.$$

Теперь умножим обе части на $x(x-1)$:

$$-1200=-x(x-1)\mathrm{.}$$

Упростим правую часть:

$$-1200=-x^2+x\mathrm{.}$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2-x-1200=0.$$

Решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта $D$:

$\frac{100}{x}-\frac{1000}{9x}+\frac{1}{9}=0\mathrm{\mid }\cdot 9x;$

$100\cdot 9-1000+x=0;$

$900-1000+x=0;$

$x=1000-900;$

$x=100$ (км/ч);

Ответ: 100 км/ч.