ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 561 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два велосипедиста одновременно стартовали по кольцевому шоссе на 50 км. Известно, что первый велосипедист через 30 мин после старта опережал второго на 500 м и пришёл к финишу на 5 мин раньше второго. Найдите скорость первого велосипедиста.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста и $y$ км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда:

$\frac{50}{x}$ ч — время, которое затратил первый велосипедист на весь путь;

$\frac{50}{y}$ ч — время, которое затратил второй велосипедист на весь путь;

2) Первый велосипедист через 30 мин $\left(\frac{1}{2}\text{ ч}\right)$ опережал второго на 500 м $\left(\frac{1}{2}\text{ км}\right)$, значит:

$0.5x-0.5y=0.5\mathrm{\mid }\cdot 2;$

$x-y=1;$

3) Первый велосипедист пришел к финишу на 5 мин $\left(\frac{1}{12}\text{ ч}\right)$ раньше второго, значит:

$\{\begin{array}{l}\frac{50}{x}+\frac{1}{12}=\frac{50}{y}\\ x-y=1\end{array}=>\{\begin{array}{l}\frac{50}{x}-\frac{50}{y}+\frac{1}{12}=0\\ y=x-1\end{array};$

$\frac{50}{x}-\frac{50}{x-1}+\frac{1}{12}=0\mathrm{\mid }\cdot 12x(x-1);$

$50\cdot 12(x-1)-50\cdot 12x+x(x-1)=0;$

$600x-600-600x+x^2-x=0;$

$x^2-x-600=0;$

$D=1^2+4\cdot 600=1+2400=2401={49}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{1-49}{2}=-24$ и $x_2=\frac{1+49}{2}=25;$

4) Скорость не может быть отрицательной:

$x\mathrm{\ne }-24,$ значит $x=25$ (км/ч);

Ответ: 25 км/ч.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста и $y$ км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда:

• Время, которое тратит первый велосипедист на весь путь, равно $\frac{50}{x}$ ч, так как он преодолевает 50 км с постоянной скоростью $x$.
• Время, которое тратит второй велосипедист на весь путь, равно $\frac{50}{y}$ ч, так как он преодолевает 50 км с постоянной скоростью $y$.

2) Из условия, что первый велосипедист через 30 минут (или $\frac{1}{2}$ ч) опережал второго на 500 м (или $\frac{1}{2}$ км), получаем уравнение:

$$0.5x-0.5y=\mathrm{0.5.}$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$x-y=1.$$

Это уравнение выражает зависимость между скоростями двух велосипедистов.

3) Из условия, что первый велосипедист пришел к финишу на 5 минут (или $\frac{1}{12}$ ч) раньше второго, получаем систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\frac{50}{x}+\frac{1}{12}=\frac{50}{y}\\ x-y=1\end{array}\mathrm{.}$$

Из второго уравнения $x-y=1$ выразим $y$ через $x$:

$$y=x-1.$$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$$\frac{50}{x}+\frac{1}{12}=\frac{50}{x-1}\mathrm{.}$$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дроби:

$$12\cdot \frac{50}{x}+1=12\cdot \frac{50}{x-1}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$\frac{600}{x}+1=\frac{600}{x-1}\mathrm{.}$$

Переносим все на одну сторону:

$$\frac{600}{x}-\frac{600}{x-1}=-1.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{600(x-1)-600x}{x(x-1)}=-1.$$

Упростим числитель:

$$\frac{600x-600-600x}{x(x-1)}=-1\Rightarrow \frac{-600}{x(x-1)}=-1.$$

Теперь умножим обе части на $x(x-1)$:

$$-600=-x(x-1)\mathrm{.}$$

Упростим правую часть:

$$-600=-x^2+x\mathrm{.}$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2-x-600=0.$$

Решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта $D$:

$D=1^2+4\cdot 600=1+2400=2401={49}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{1-49}{2}=-24$ и $x_2=\frac{1+49}{2}=25;$

4) Скорость не может быть отрицательной:

$x\mathrm{\ne }-24,$ значит $x=25$ (км/ч);

Ответ: 25 км/ч.