ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 554 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений $\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=18\\ (x-1)(y-2)=9\end{array}$ с помощью подходящей замены.

$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=18\\ (x-1)(y-2)=9\end{array}$

1) Пусть $a=x-1$ и $b=y-2$, тогда:

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=18\\ ab=9\end{array}=>\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-18=0\\ b=\frac{9}{a}\end{array};$

$a^2+{\left(\frac{9}{a}\right)}^2-18=0;$

$a^2+\frac{81}{a^2}-18=0\mathrm{\mid }\cdot a^2;$

$a^4-18a^2+81=0;$

$(a^2-9{)}^2=0;$

$a^2-9=0,$ отсюда $a=\pm 3;$

$b_1=\frac{9}{-3}=-3$ и $b_2=\frac{9}{3}=3;$

2) Первое значение:

$x-1=-3,$ отсюда $x=-3+1=-2;$

$y-2=-3,$ отсюда $y=-3+2=-1;$

3) Второе значение:

$x-1=3,$ отсюда $x=3+1=4;$

$y-2=3,$ отсюда $y=3+2=5;$

Ответ: $(-2;-1)$ и $(4;5)\mathrm{.}$

$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=18\\ (x-1)(y-2)=9\end{array}$

Пусть $a=x-1$ и $b=y-2$, тогда:

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=18\\ ab=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2+b^2-18=0\\ b=\frac{9}{a}\end{array};$

Теперь подставим выражение для $b$ в первое уравнение $a^2+b^2-18=0$:

$$a^2+{\left(\frac{9}{a}\right)}^2-18=0,$$

расширим:

$$a^2+\frac{81}{a^2}-18=0.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

$$a^4+81-18a^2=0.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$a^4-18a^2+81=0.$$

Теперь выделим полный квадрат:

$$(a^2-9{)}^2=0.$$

Решаем это уравнение:

$$a^2-9=0\Rightarrow a^2=9\Rightarrow a=\pm 3.$$

Теперь найдем $b$. Подставим значения $a=3$ и $a=-3$ в $b=\frac{9}{a}$:

Для $a=3$:

$$b_2=\frac{9}{3}=3.$$

Для $a=-3$:

$$b_1=\frac{9}{-3}=-3.$$

Теперь, зная $a$ и $b$, найдем $x$ и $y$. Напомним, что $a=x-1$ и $b=y-2$, отсюда:

Для $a_1=-3$ и $b_1=-3$:

$$x=-3+1=-2,y=-3+2=-1.$$

Для $a_2=3$ и $b_2=3$:

$$x=3+1=4,y=3+2=5.$$

Ответ: $(-2;-1)$ и $(4;5)$.