ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 552 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\{\begin{array}{l}(x-2)(y-2)=-1\\ x+y=4;\end{array}$

б) $\{\begin{array}{l}x-y=4\\ (x-1)(y+1)=-1.\end{array}$

Указание. а) Представьте первое уравнение в виде $xy-2(x+y)+4=-1$. Далее используйте условие $x+y=4$.

а) $\{\begin{array}{l}(x-2)(y-2)=-1\\ x+y=4;\end{array}$

$\{\begin{array}{lllll}xy-2(x+y)+4=-1& =>& \{\begin{array}{l}xy-2\cdot 4+4+1=0\\ x+y=4\end{array}& =>& \{\begin{array}{l}xy-3=0\\ y=4-x\end{array};\end{array}$

$x(4-x)-3=0;$

$4x-x^2-3=0\mathrm{\mid }:(-1);$

$x^2-4x+3=0;$

$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4,$ тогда:

$x_1=\frac{4-2}{2}=1$ и $x_2=\frac{4+2}{2}=3;$

$y_1=4-1=3$ и $y_2=4-3=1;$

Ответ: $(1;3)$ и $(3;1)\mathrm{.}$

б) $\{\begin{array}{l}x-y=4\\ (x-1)(y+1)=-1;\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x-y=4\\ xy+(x-y)-1=-1& =>& \{\begin{array}{l}x-y=4\\ xy+4-1+1=0\end{array}& =>& \{\begin{array}{l}xy+4=0\\ y=x-4\end{array};\end{array}$

$x(x-4)+4=0;$

$x^2-4x+4=0;$

$(x-2{)}^2=0;$

$x-2=0,$ отсюда $x=2;$

$y=2-4=-2;$

Ответ: $(2;-2)\mathrm{.}$

а) $\{\begin{array}{l}(x-2)(y-2)=-1\\ x+y=4;\end{array}$

Раскроем первое уравнение $(x-2)(y-2)=-1$ с использованием распределительного закона:

$$xy-2x-2y+4=-1.$$

Теперь перенесем все числа в одну сторону:

$$xy-2x-2y+4+1=0\Rightarrow xy-2x-2y+5=0.$$

Используем второе уравнение $x+y=4$, подставив $x+y=4$ в уравнение:

$$xy-2(x+y)+5=0\Rightarrow xy-2\cdot 4+5=0\Rightarrow xy-8+5=0\Rightarrow xy-3=0.$$

Таким образом, получаем уравнение:

$$xy=3.$$

Из второго уравнения $x+y=4$, выражаем $y$ через $x$:

$$y=4-x\mathrm{.}$$

Теперь подставим это выражение в уравнение $xy=3$:

$$x(4-x)=3\Rightarrow 4x-x^2=3.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$-x^2+4x-3=0\Rightarrow x^2-4x+3=0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта $D$:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=1,x_2=\frac{-(-4)+\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4+2}{2}=3.$$

Подставим полученные значения $x_1=1$ и $x_2=3$ в $y=4-x$:

Для $x_1=1$:

$$y_1=4-1=3.$$

Для $x_2=3$:

$$y_2=4-3=1.$$

Ответ: $(1;3)$ и $(3;1)$.

б) $\{\begin{array}{l}x-y=4\\ (x-1)(y+1)=-1;\end{array}$

Раскроем второе уравнение $(x-1)(y+1)=-1$:

$$xy+x-y-1=-1.$$

Преобразуем:

$$xy+x-y=0.$$

Используем первое уравнение $x-y=4$, подставив $x=y+4$ в уравнение $xy+x-y=0$:

$$(y+4)y+(y+4)-y=0.$$

Раскрываем скобки:

$$y^2+4y+y+4-y=0\Rightarrow y^2+4y+4=0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0.$$

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

$$y=\frac{-4}{2\cdot 1}=-2.$$

Подставим $y=-2$ в $x=y+4$:

$$x=-2+4=2.$$

Ответ: $(2;-2)$.