ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 550 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (550–553).

а) $\{\begin{array}{l}(x^2-y^2)(x+y)=32\\ x-y=2;\end{array}$

б) $\{\begin{array}{l}(x^2-y^2)(x-y)=20\\ x+y=5.\end{array}$

а) $\{\begin{array}{l}(x^2-y^2)(x+y)=32\\ x-y=2;\end{array}$

$\{\begin{array}{lllll}(x-y)(x+y{)}^2=32& =>& \{\begin{array}{l}2(x+y{)}^2=32\\ x-y=2\end{array}& =>& \{\begin{array}{l}(x+y{)}^2=16\\ y=x-2\end{array};\end{array}$

$(x+x-2{)}^2=16;$

$(2x-2{)}^2=16;$

$4x^2-8x+4-16=0;$

$4x^2-8x-12=0\mathrm{\mid }:4;$

$x^2-2x-3=0;$

$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,$ тогда:

$x_1=\frac{2-4}{2}=-1$ и $x_2=\frac{2+4}{2}=3;$

$y_1=-1-2=-3$ и $y_2=3-2=1;$

Ответ: $(-1;-3)$ и $(3;1)\mathrm{.}$

б) $\{\begin{array}{l}(x^2-y^2)(x-y)=20\\ x+y=5;\end{array}$

$\{\begin{array}{lllll}(x+y)(x-y{)}^2=20& =>& \{\begin{array}{l}5(x-y{)}^2=20\\ x+y=5\end{array}& =>& \{\begin{array}{l}(x-y{)}^2=4\\ y=5-x\end{array};\end{array}$

$(x-5+x{)}^2=4;$

$(2x-5{)}^2=4;$

$4x^2-20x+25-4=0;$

$4x^2-20x+21=0;$

$D={20}^2-4\cdot 4\cdot 21=400-336=64,$ тогда:

$x_1=\frac{20-8}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=1.5$ и $x_2=\frac{20+8}{2\cdot 4}=\frac{28}{12}=3.5;$

$y_1=5-1.5=3.5$ и $y_2=5-3.5=1.5;$

Ответ: $(1.5;3.5)$ и $(3.5;1.5)\mathrm{.}$

а) $\{\begin{array}{l}(x^2-y^2)(x+y)=32\\ x-y=2;\end{array}$

Перепишем первое уравнение $(x^2-y^2)(x+y)=32$ с использованием формулы разности квадратов:

$$(x^2-y^2)=(x-y)(x+y),$$

так что уравнение принимает вид:

$$(x-y)(x+y)(x+y)=32.$$

Поскольку $x-y=2$, подставим это значение:

$$2(x+y{)}^2=32.$$

Делим обе части на 2:

$$(x+y{)}^2=16.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$x+y=4\text{или}x+y=-4.$$

Рассмотрим оба случая.

Из второго уравнения $x-y=2$, можно выразить $y$ через $x$:

$$y=x-2.$$

Подставим это в уравнение $x+y=4$:

$$x+(x-2)=4.$$

Упростим:

$$2x-2=4,$$

$$$$$$2x=6,$$

$$$$$$x=3.$$

Теперь подставим $x=3$ в $y=x-2$:

$$y=3-2=1.$$

Таким образом, $x=3$, $y=1$.

Рассмотрим второй случай $x+y=-4$. Подставим $y=x-2$ в это уравнение:

$$x+(x-2)=-4,$$

$$$$$$2x-2=-4,$$

$$$$$$2x=-2,$$

$$$$$$x=-1.$$

Теперь подставим $x=-1$ в $y=x-2$:

$$y=-1-2=-3.$$

Таким образом, второй возможный вариант: $x=-1$, $y=-3$.

Ответ: $(-1;-3)$ и $(3;1)$.

б) $\{\begin{array}{l}(x^2-y^2)(x-y)=20\\ x+y=5;\end{array}$

Перепишем первое уравнение $(x^2-y^2)(x-y)=20$ с использованием формулы разности квадратов:

$$(x^2-y^2)=(x-y)(x+y),$$

так что уравнение принимает вид:

$$(x-y)(x+y)(x-y)=20.$$

Подставим $x+y=5$:

$$(x-y)\cdot 5\cdot (x-y)=20,$$

или

$$5(x-y{)}^2=20.$$

Делим обе части на 5:

$$(x-y{)}^2=4.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x-y=2\text{или}x-y=-2.$$

Рассмотрим оба случая.

Из второго уравнения $x+y=5$, можно выразить $y$ через $x$:

$$y=5-x\mathrm{.}$$

Подставим это в уравнение $x-y=2$:

$$x-(5-x)=2,$$

$$$$$$x-5+x=2,$$

$$$$$$2x=7,$$

$$$$$$x=\mathrm{3.5.}$$

Теперь подставим $x=3.5$ в $y=5-x$:

$$y=5-3.5=\mathrm{1.5.}$$

Таким образом, $x=3.5$, $y=1.5$.

Рассмотрим второй случай $x-y=-2$. Подставим $y=5-x$ в это уравнение:

$$x-(5-x)=-2,$$

$$$$$$x-5+x=-2,$$

$$$$$$2x=3,$$

$$$$$$x=\mathrm{1.5.}$$

Теперь подставим $x=1.5$ в $y=5-x$:

$$y=5-1.5=\mathrm{3.5.}$$

Таким образом, второй возможный вариант: $x=1.5$, $y=3.5$.

Ответ: $(1.5;3.5)$ и $(3.5;1.5)$.