ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 544 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из города А в город В, расстояние между которыми 60 км, одновременно выехали два велосипедиста. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости другого, поэтому в город В он приехал на 1 ч 15 мин позже другого велосипедиста. Сколько времени затратил на первые 12 км пути велосипедист, который ехал с меньшей скоростью?

1) Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда:

$x+4$ км/ч — скорость второго велосипедиста;

$\frac{60}{x}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом;

$\frac{60}{x+4}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $1$ ч $15$ мин $=\frac{5}{4}$ ч:

$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+4}+\frac{5}{4}\mathrm{\mid }\cdot 4x(x+4);$

$60\cdot 4(x+4)=60\cdot 4x+5x(x+4);$

$240x+960=240x+5x^2+20x;$

$5x^2+240x-240x+20x-960=0;$

$5x^2+20x-960=0\mathrm{\mid }:5;$

$x^2+4x-192=0;$

$D=4^2+4\cdot 192=16+768=784={28}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{-4-28}{2}=-16$ и $x_2=\frac{-4+28}{2}=12;$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$x\mathrm{\ne }-16,$ значит $x=12$ (км/ч);

4) Время, затраченное на первые $12$ км пути первым велосипедистом:

$\frac{12}{x}=\frac{12}{12}=1$ (ч);

Ответ: $1$ час.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого велосипедиста, тогда:

$x+4$ км/ч — скорость второго велосипедиста. Это означает, что второй велосипедист едет на 4 км/ч быстрее первого велосипедиста.

$\frac{60}{x}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом. Время на преодоление расстояния вычисляется по формуле $t=\frac{s}{v}$, где $s=60$ км — это расстояние, которое проходит первый велосипедист, а $v=x$ км/ч — это скорость первого велосипедиста.

$\frac{60}{x+4}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом. Таким образом, для второго велосипедиста время пути равно $t=\frac{s}{v}=\frac{60}{x+4}$, где $s=60$ км — это расстояние, которое проходит второй велосипедист, а $v=x+4$ км/ч — его скорость.

Составим и решим уравнение, учитывая, что $1$ ч $15$ мин $=\frac{5}{4}$ ч:

Поскольку время, затраченное первым велосипедистом, на 1 час 15 минут больше времени второго велосипедиста, составим уравнение:

$$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+4}+\frac{5}{4}$$

где $\frac{60}{x}$ — время, затраченное первым велосипедистом, $\frac{60}{x+4}$ — время, затраченное вторым велосипедистом, а $\frac{5}{4}$ — это разница во времени, равная 1 час 15 минут.

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $4x(x+4)$:

$$4x(x+4)\cdot \frac{60}{x}=4x(x+4)\cdot (\frac{60}{x+4}+\frac{5}{4})$$

Преобразуем каждую из частей уравнения:

$$60\cdot 4(x+4)=60\cdot 4x+5x(x+4)$$

Умножим скобки и упростим:

$$240x+960=240x+5x^2+20x$$

Затем перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$240x+960-240x-5x^2-20x=0$$$$5x^2+240x-240x+20x-960=0$$

Теперь у нас получается уравнение:

$$5x^2+20x-960=0$$

Теперь разделим обе стороны на 5, чтобы упростить уравнение:

$$x^2+4x-192=0$$

Решим квадратное уравнение $x^2+4x-192=0$ с помощью дискриминанта. Дискриминант для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=4$, и $c=-192$. Подставляем эти значения:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot (-192)=16+768=784$$

Теперь извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{784}=28$$

Значит, дискриминант равен $784={28}^2$.

Теперь находим корни уравнения с использованием формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-28}{2}=\frac{-32}{2}=-16$$

$$$$$$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+28}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x_1=-16$ отклоняется. Оставляем только положительное значение:

$$x=12\text{(км/ч)}\mathrm{.}$$

Теперь вычислим время, которое первый велосипедист потратит на первые 12 км пути. Для этого применим формулу $t=\frac{s}{v}$, где $s=12$ км — это расстояние, которое первый велосипедист должен проехать, а $v=x=12$ км/ч — его скорость. Таким образом, время будет равно:

$$t=\frac{12}{12}=1\text{(ч)}$$

Ответ: $1$ час.