ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 543 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Два велосипедиста отправились одновременно из города в посёлок. Скорость первого велосипедиста была на 2 км/ч больше, чем скорость второго велосипедиста. Поэтому он приехал в посёлок на 15 мин раньше второго велосипедиста. Найдите скорость второго велосипедиста, если расстояние от города до посёлка 36 км.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда:

$x+2$ км/ч — скорость первого велосипедиста;

$\frac{36}{x}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом;

$\frac{36}{x+2}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом;

2) Составим и решим уравнение, учитывая, что $15$ мин $=\frac{1}{4}$ ч:

$$\frac{36}{x}=\frac{36}{x+2}+\frac{1}{4}\mathrm{\mid }\cdot 4x(x+2);$$

$$$$$$36\cdot 4(x+2)=36\cdot 4x+x(x+2);$$

$$$$$$144x+288=144x+x^2+2x;$$

$$$$$$x^2+144x-144x+2x-288=0;$$

$$$$$$x^2+2x-288=0;$$

$$$$$$D=2^2+4\cdot 288=4+1152=1156={34}^2,\text{тогда:}$$

$$$$$$x_1=\frac{-2-34}{2}=-18\text{и}{x}_2=\frac{-2+34}{2}=16;$$

3) Скорость не может быть отрицательной:

$$x\mathrm{\ne }-18,\text{значит}x=16(\text{км/ч});$$

Ответ: $16$ км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста, тогда:

$x+2$ км/ч — скорость первого велосипедиста, так как первый велосипедист движется на 2 км/ч быстрее второго.

$\frac{36}{x}$ ч — время, затраченное на путь вторым велосипедистом. Время пути второго велосипедиста вычисляется по формуле $t=\frac{s}{v}$, где $s=36$ км — пройденное расстояние, а $v=x$ км/ч — скорость второго велосипедиста.

$\frac{36}{x+2}$ ч — время, затраченное на путь первым велосипедистом. Аналогично, время первого велосипедиста вычисляется по формуле $t=\frac{s}{v}$, где $s=36$ км — пройденное расстояние, а $v=x+2$ км/ч — скорость первого велосипедиста.

Составим и решим уравнение, учитывая, что $15$ мин $=\frac{1}{4}$ ч:

Поскольку время второго велосипедиста на 15 минут больше времени первого, можно записать уравнение:

$$\frac{36}{x}=\frac{36}{x+2}+\frac{1}{4}$$

где левая часть уравнения — это время, затраченное вторым велосипедистом, а правая часть — это время, затраченное первым велосипедистом плюс 15 минут.

Умножим обе части уравнения на $4x(x+2)$, чтобы избавиться от дробей:

$$4x(x+2)\cdot \frac{36}{x}=4x(x+2)\cdot (\frac{36}{x+2}+\frac{1}{4})$$

Преобразуем это выражение:

$$36\cdot 4(x+2)=36\cdot 4x+x(x+2)$$

Теперь у нас есть выражения для каждой из частей уравнения.

Раскроем скобки и упростим:

$$144x+288=144x+x^2+2x$$

Отметим, что $144x$ на обеих сторонах уравнения сокращаются:

$$288=x^2+2x$$

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

$$x^2+2x-288=0$$

Это квадратное уравнение, которое нужно решить.

Рассчитаем дискриминант $D$ для решения квадратного уравнения $x^2+2x-288=0$:

Дискриминант для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=2$, и $c=-288$. Подставим эти значения:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-288)=4+1152=1156$$

Теперь вычислим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b=2$, $D=1156$, и $a=1$:

$$x_1=\frac{-2-\sqrt{1156}}{2}=\frac{-2-34}{2}=\frac{-36}{2}=-18$$

$$$$$$x_2=\frac{-2+\sqrt{1156}}{2}=\frac{-2+34}{2}=\frac{32}{2}=16$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому отрицательное значение $x_1=-18$ отклоняется. Оставляем только положительное значение:

$$x=16\text{(км/ч)}\mathrm{.}$$

Ответ: $16$ км/ч.