ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 542 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-3}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5};$

б) $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}\mathrm{.}$

Указание. Преобразуйте отдельно левую и правую части уравнения.

а) $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-3}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5};$

$\frac{x-3+x+2}{(x+2)(x-3)}=\frac{x-5+x+4}{(x+4)(x-5)};$

$\frac{2x-1}{x^2-x-6}=\frac{2x-1}{x^2-x-20};$

$(2x-1)(x^2-x-20)=(2x-1)(x^2-x-6);$

$(2x-1)(x^2-x-20)-(2x-1)(x^2-x-6)=0;$

$(2x-1)(x^2-x-20-x^2+x+6)=0;$

$(2x-1)\cdot (-14)=0;$

$2x-1=0;$

$2x=1,$ отсюда $x=0.5;$

Выражение имеет смысл при:

$x+2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-2;$

$x-3\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }3;$

$x+4\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-4;$

$x-5\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }5;$

Ответ: $x=\mathrm{0.5.}$

б) $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4};$

$\frac{x-2-(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-4-(x-3)}{(x-3)(x-4)};$

$\frac{x-2-x+1}{x^2-2x-x+2}=\frac{x-4-x+3}{x^2-4x-3x+12};$

$\frac{-1}{x^2-3x+2}=\frac{-1}{x^2-7x+12};$

$x^2-3x+2=x^2-7x+12;$

$x^2-x^2-3x+7x=12-2;$

$4x=10,$ отсюда $x=2.5;$

Выражение имеет смысл при:

$x-1\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }1;$

$x-2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }2;$

$x-3\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }3;$

$x-4\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }4;$

Ответ: $x=\mathrm{2.5.}$

а) $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-3}=\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5};$

Преобразуем обе части уравнения, чтобы привести к общему знаменателю. Начнем с левой части:

$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-3}=\frac{(x-3)+(x+2)}{(x+2)(x-3)}=\frac{2x-1}{(x+2)(x-3)}$$

Теперь правую часть:

$$\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5}=\frac{(x-5)+(x+4)}{(x+4)(x-5)}=\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}$$

Получаем уравнение:

$$\frac{2x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}$$

При $2x-1\mathrm{\ne }0$, можем сократить обе части на $2x-1$, получаем:

$$\frac{1}{(x+2)(x-3)}=\frac{1}{(x+4)(x-5)}$$

Умножим обе части на $(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)$:

$$(x+4)(x-5)=(x+2)(x-3)$$

Раскроем скобки:

$$x^2-x-20=x^2-x-6$$

Упростим уравнение:

$$x^2-x-20-x^2+x+6=0$$$$-14=0$$

Здесь мы получаем противоречие, значит уравнение не имеет решений, при которых оба выражения равны друг другу. Однако, нужно проверить возможные исключения, при которых выражения могут быть неопределены.

Проверим условия, при которых выражение имеет смысл. Исключаем значения, при которых знаменатели равны нулю:

$$x+2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-2$$$$x-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }3$$$$x+4\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-4$$$$x-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }5$$

Ответ: Уравнение не имеет решений.

б) $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4};$

1. Начнем с приведения обеих частей уравнения к общему знаменателю. Левую часть уравнения можно выразить как:

$$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2}=\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{-1}{(x-1)(x-2)}$$

Теперь правую часть уравнения:

$$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4}=\frac{(x-4)-(x-3)}{(x-3)(x-4)}=\frac{-1}{(x-3)(x-4)}$$

Получаем уравнение:

$$\frac{-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{-1}{(x-3)(x-4)}$$

Умножим обе части на $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$:

$$(x-3)(x-4)=(x-1)(x-2)$$

Раскроем скобки:

$$x^2-7x+12=x^2-3x+2$$

Упростим уравнение:

$$x^2-7x+12-x^2+3x-2=0$$$$-4x+10=0$$

Решим уравнение:

$$4x=10$$$$x=\frac{10}{4}=2.5$$

Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

$$x-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }1$$$$x-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }2$$$$x-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }3$$$$x-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }4$$

Ответ: $x=2.5$.