ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 541 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $2(x^2+\frac{1}{x^2})-3(x+\frac{1}{x})+2=0;$

б) $4(x^2+\frac{1}{x^2})-8(x-\frac{1}{x})=5.$

Указание.

а) Используя формулу $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$, выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $x+\frac{1}{x}$. Далее введите замену: $x+\frac{1}{x}=y$.

б) Выразите $x^2+\frac{1}{x^2}$ через $x-\frac{1}{x}$.

а) $2(x^2+\frac{1}{x^2})-3(x+\frac{1}{x})+2=0$;

$2({(x+\frac{1}{x})}^2-2x\cdot \frac{1}{x})-3(x+\frac{1}{x})+2=0$;

1) Пусть $y=x+\frac{1}{x}$, тогда:

$2(y^2-2)-3y+2=0$;

$2y^2-4-3y+2=0$;

$2y^2-3y-2=0$;

$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25$, тогда:

$y_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$ и $y_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$;

2) Первое значение:

$x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2x$;

$2x^2+2=-x$;

$2x^2+x+2=0$;

$D=1^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15$;

$D<0$, значит корней нет;

3) Второе значение:

$x+\frac{1}{x}=2\mathrm{\mid }\cdot x$;

$x^2+1=2x$;

$x^2-2x+1=0$;

$(x-1{)}^2=0$;

$x-1=0$, отсюда $x=1$;

Ответ: 1.

б) $4(x^2+\frac{1}{x^2})-8(x-\frac{1}{x})=5$;

$4({(x-\frac{1}{x})}^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x})-8(x-\frac{1}{x})-5=0$;

1) Пусть $y=x-\frac{1}{x}$, тогда:

$4(y^2+2)-8y-5=0$;

$4y^2+8-8y-5=0$;

$4y^2-8y+3=0$;

$D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16$, тогда:

$y_1=\frac{8-4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ и $y_2=\frac{8+4}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$;

2) Первое значение:

$x-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2x$;

$2x^2-2=x$;

$2x^2-x-2=0$;

$D=1^2+4\cdot 2\cdot 2=1+16=17$, тогда:

$x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2\cdot 2}=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}$;

3) Второе значение:

$x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}\mathrm{\mid }\cdot 2x$;

$2x^2-2=3x$;

$2x^2-3x-2=0$;

$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25$, тогда:

$x_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-0.5$ и $x_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$;

Ответ: $-0.5;2;\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}$.

а) $2(x^2+\frac{1}{x^2})-3(x+\frac{1}{x})+2=0$.

Сначала перепишем выражение через тождество: $x^2+\frac{1}{x^2}={(x+\frac{1}{x})}^2-2x\cdot \frac{1}{x}={(x+\frac{1}{x})}^2-2$. Подставляем:

$2({(x+\frac{1}{x})}^2-2)-3(x+\frac{1}{x})+2=0$.

Пусть $y=x+\frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$2(y^2-2)-3y+2=0$.

Раскроем скобки:

$2y^2-4-3y+2=0$.

Приведём подобные члены:

$2y^2-3y-2=0$.

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Вычисляем дискриминант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25$.

Корни: $y_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$, $y_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$.

Для первого значения $y=-\frac{1}{2}$:

$x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$. Умножаем на $2x$:

$2x^2+2=-x$.

Переносим: $2x^2+x+2=0$.

Вычисляем дискриминант: $D=1^2-4\cdot 2\cdot 2=1-16=-15$. Так как $D<0$, решений нет.

Для второго значения $y=2$:

$x+\frac{1}{x}=2$. Умножаем на $x$:

$x^2+1=2x$.

Переносим: $x^2-2x+1=0$.

Это полный квадрат: $(x-1{)}^2=0$.

Отсюда $x=1$.

Окончательный ответ: $1$.

б) $4(x^2+\frac{1}{x^2})-8(x-\frac{1}{x})=5$.

Используем тождество: $x^2+\frac{1}{x^2}={(x-\frac{1}{x})}^2+2$. Подставляем:

$4({(x-\frac{1}{x})}^2+2)-8(x-\frac{1}{x})-5=0$.

Пусть $y=x-\frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$4(y^2+2)-8y-5=0$.

Раскроем скобки:

$4y^2+8-8y-5=0$.

Приведём подобные члены:

$4y^2-8y+3=0$.

Это квадратное уравнение относительно $y$.

Вычисляем дискриминант: $D=(-8{)}^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16$.

Корни: $y_1=\frac{8-4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$, $y_2=\frac{8+4}{2\cdot 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$.

Для первого значения $y=\frac{1}{2}$:

$x-\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$. Умножаем на $2x$:

$2x^2-2=x$.

Переносим: $2x^2-x-2=0$.

Вычисляем дискриминант: $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=1+16=17$.

Корни: $x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}$.

Для второго значения $y=\frac{3}{2}$:

$x-\frac{1}{x}=\frac{3}{2}$. Умножаем на $2x$:

$2x^2-2=3x$.

Переносим: $2x^2-3x-2=0$.

Вычисляем дискриминант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25$.

Корни: $x_1=\frac{3-5}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-0.5$, $x_2=\frac{3+5}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$.

Окончательный ответ: $-0.5;2;\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}$.