ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 540 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $1+\frac{x-4}{x-3}=\frac{x}{x+4}+\frac{7x}{x^2+x-12};$

б) $1-\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x^2-2x-3}-\frac{4}{x-3};$

в) $\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}=\frac{24}{x^3+8};$

г) $\frac{3x}{x^3-1}-\frac{3}{x^2+x+1}=\frac{1}{x-1}\mathrm{.}$

а) $1+\frac{x-4}{x-3}=\frac{x}{x+4}+\frac{7x}{x^2+x-12};$

Разложим на множители:

$x^2+x-12=x^2-3x+4x-12=x(x-3)+4(x-3)=(x+4)(x-3);$

Получим уравнение:

$1+\frac{x-4}{x-3}-\frac{x}{x+4}-\frac{7x}{(x+4)(x-3)}=0\mathrm{\mid }\cdot (x+4)(x-3);$

$(x+4)(x-3)+(x+4)(x-4)-x(x-3)-7x=0;$

$x^2-3x+4x-12+x^2-4x+16-x^2+3x-7x=0;$

$x^2-3x-28=0;$

$D=3^2+4\cdot 28=9+112=121={11}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{3-11}{2}=-4$ и $x_2=\frac{3+11}{2}=7;$

Выражение имеет смысл при:

$x-3\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }3;$

$x+4\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-4;$

Ответ: $7.$

б) $\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1;$

Разложим на множители:

$x^2-2x-3=x^2+x-3x-3=x(x+1)-3(x+1)=(x-3)(x+1);$

Получим уравнение:

$1-\frac{2}{x+1}-\frac{5}{(x-3)(x+1)}+\frac{4}{x-3}=0\mathrm{\mid }\cdot (x-3)(x+1);$

$(x-3)(x+1)-2(x-3)-5+4(x+1)=0;$

$x^2+x-3x-3-2x+6-5+4x+4=0;$

$x^2+2=0;$

$x^2=-2\text{— корней нет;}$

Ответ: решений нет.

в) $\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}=\frac{24}{x^3+8};$

$\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}-\frac{24}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0\mathrm{\mid }\cdot (x+2)(x^2-2x+4);$

$2(x^2-2x+4)-6(x+2)-24=0;$

$2x^2-4x+8-6x-12-24=0;$

$2x^2-10x-28=0\mathrm{\mid }:2;$

$x^2-5x-14=0;$

$D=5^2+4\cdot 14=25+56=81,$ тогда:

$x_1=\frac{5-9}{2}=-2$ и $x_2=\frac{5+9}{2}=7;$

Выражение имеет смысл при:

$\mathrm{1)\; x}+2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-2;$

${\mathrm{2)\; x}}^2-2x+4\mathrm{\ne }0;$

$D=2^2-4\cdot 4=4-16=-12;$

$D<0,$ значит корней нет;

Ответ: $7.$

г) $\frac{3x}{x^3-1}-\frac{3}{x^2+x+1}=\frac{1}{x-1}\mathrm{.}$

$\frac{3x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{x^2+x+1}-\frac{1}{x-1}=0\mathrm{\mid }\cdot (x-1)(x^2+x+1);$

$3x-3(x-1)-(x^2+x+1)=0;$

$3x-3x+3-x^2-x-1=0;$

$-x^2-x+2=0\mathrm{\mid }\cdot (-1);$

$x^2+x-2=0;$

$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,$ тогда:

$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$ и $x_2=\frac{-1+3}{2}=1;$

Выражение имеет смысл при:

$\mathrm{1)\; x}-1\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }1;$

${\mathrm{2)\; x}}^2+x+1\mathrm{\ne }0;$

$D=1^2-4\cdot 1=1-4=-3;$

$D<0,$ значит корней нет;

Ответ: $-2.$

а) $\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12};$

1. Разлагаем $3x^2-12$ как разность квадратов:

$$3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$$

2. Преобразуем выражение. Перепишем левую часть уравнения:

$$\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$$

Таким образом, уравнение будет:

$$-\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$$

3. Умножим обе стороны на $3(x-2)(x+2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$3(x-2)(x+2)(-\frac{1}{x-2}-1)=3(x-2)(x+2)(\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)})$$

4. После умножения на общие множители:

$$-3(x+2)-3(x-2)(x+2)=-(6-x)$$

5. Раскроем скобки:

$$-3(x+2)=-3x-6$$

$$$$$$-3(x-2)(x+2)=-3(x^2-4)=-3x^2+12$$

$$$$$$-(6-x)=-6+x$$

Подставим это в уравнение:

$$-3x-6-3x^2+12=-6+x$$

6. Упростим уравнение:

$$-3x-3x^2+6=-6+x$$

7. Переносим все на одну сторону:

$$-3x-3x^2+6+6-x=0$$

$$$$$$-3x^2-4x+12=0$$

Умножим на $-1$:

$$3x^2+4x-12=0$$

8. Решаем квадратное уравнение $3x^2+4x-12=0$ с помощью дискриминанта:

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot (-12)=16+144=160$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-4-\sqrt{160}}{2\cdot 3}=\frac{-4-4\sqrt{10}}{6}$$

$$$$$$x_2=\frac{-4+\sqrt{160}}{2\cdot 3}=\frac{-4+4\sqrt{10}}{6}$$

9. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x-2\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }2$,
• $x+2\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }-2$.

Ответ: $\frac{-4-4\sqrt{10}}{6},\frac{-4+4\sqrt{10}}{6}$.

б) $\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1;$

1. Разлагаем $2x^2-18$ как разность квадратов:

$$2x^2-18=2(x^2-9)=2(x-3)(x+3)$$

Теперь уравнение:

$$\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2(x-3)(x+3)}=\frac{1}{3-x}-1$$

2. Умножим обе части на $2(x-3)(x+3)$:

$$2(x-3)(x+3)(\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2(x-3)(x+3)})=2(x-3)(x+3)(\frac{1}{3-x}-1)$$

3. Преобразуем обе части уравнения:

$$2(x+3)-(x+8)=-2(x+3)$$

4. Раскроем скобки:

$$2(x+3)=2x+6$$$$-(x+8)=-x-8$$$$-2(x+3)=-2x-6$$

Подставим:

$$2x+6-x-8=-2x-6$$

5. Упростим:

$$x-2=-2x-6$$

6. Переносим все на одну сторону:

$$x+2x=-6+2$$$$3x=-4$$

7. Решаем уравнение:

$$x=\frac{-4}{3}$$

8. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x\mathrm{\ne }3$,
• $x\mathrm{\ne }-3$.

Ответ: $\frac{-4}{3}$.

в) $\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}=\frac{24}{x^3+8};$

1. Разлагаем знаменатель $x^3+8$ как сумму кубов:

$$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$

Теперь уравнение:

$$\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}-\frac{24}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0$$

2. Умножим обе стороны на $(x+2)(x^2-2x+4)$:

$$(x+2)(x^2-2x+4)(\frac{2}{x+2}-\frac{6}{x^2-2x+4}-\frac{24}{(x+2)(x^2-2x+4)})=0$$

3. Преобразуем выражения:

$$2(x^2-2x+4)-6(x+2)-24=0$$

4. Раскроем скобки:

$$2(x^2-2x+4)=2x^2-4x+8$$$$-6(x+2)=-6x-12$$

Подставим:

$$2x^2-4x+8-6x-12-24=0$$

5. Упростим:

$$2x^2-10x-28=0\mathrm{\mid }:2$$$$x^2-5x-14=0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (-14)=25+56=81$$

Корни:

$$x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{5-9}{2}=-2$$

$$$$$$x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{5+9}{2}=7$$

7. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

$x\mathrm{\ne }-2$,

$x^2-2x+4\mathrm{\ne }0$, где дискриминант $D=(-2{)}^2-4\cdot 4=4-16=-12$, значит корней нет.

Ответ: $7$.

г) $\frac{3x}{x^3-1}-\frac{3}{x^2+x+1}=\frac{1}{x-1};$

1. Разлагаем $x^3-1$ как разность кубов:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Теперь уравнение:

$$\frac{3x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{x^2+x+1}-\frac{1}{x-1}=0$$

2. Умножим обе стороны на $(x-1)(x^2+x+1)$:

$$(x-1)(x^2+x+1)(\frac{3x}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{3}{x^2+x+1}-\frac{1}{x-1})=0$$

3. Преобразуем выражения:

$$3x-3(x-1)-(x^2+x+1)=0$$

4. Раскроем скобки:

$$3x-3x+3-x^2-x-1=0$$

5. Упростим:

$$-x^2-x+2=0\mathrm{\mid }\cdot (-1)$$$$x^2+x-2=0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Корни:

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2$$

$$$$$$x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

7. Проверяем при каких значениях выражение имеет смысл:

$x-1\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }1$,

$x^2+x+1\mathrm{\ne }0$, где дискриминант $D=1^2-4\cdot 1=1-4=-3$, значит корней нет.

Ответ: $-2$.