ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 539 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (538–542).

а) $\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12};$

б) $\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1.$

а) $\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12};$

$-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-2}-1=-\frac{6-x}{3(x^2-4)};$

$-\frac{2}{x-2}-1=-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}\mathrm{\mid }\cdot 3(x-2)(x+2);$

$-2\cdot 3(x+2)-3(x-2)(x+2)=-(6-x);$

$-6x-12-3(x^2-4)=-6+x;$

$-6x-12-3x^2+12=0;$

$-3x^2-7x+6=0\mathrm{\mid }\cdot (-1);$

$3x^2+7x-6=0;$

$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121={11}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{-7-11}{2\cdot 3}=\frac{-18}{6}=-3$ и $x_2=\frac{-7+11}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};$

Выражение имеет смысл при:

$x-2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }2;$

$x+2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-2;$

Ответ: $-3;\frac{2}{3}\mathrm{.}$

б) $\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1;$

$\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2(x^2-9)}=-\frac{1}{x-3}-1;$

$\frac{2}{x-3}-\frac{x+8}{2(x-3)(x+3)}+1=0\mathrm{\mid }\cdot 2(x-3)(x+3);$

$2\cdot 2(x+3)-(x+8)+2(x-3)(x+3)=0;$

$4x+12-x-8+2(x^2-9)=0;$

$3x+4+2x^2-18=0;$

$2x^2+3x-14=0;$

$D=3^2+4\cdot 2\cdot 14=9+112=121={11}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{-3-11}{2\cdot 2}=\frac{-14}{4}=-3.5$ и $x_2=\frac{-3+11}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2;$

Ответ: $-3.5;2.$

а) Начинаем с уравнения:

$\frac{1}{2-x}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3x^2-12}$.

Заметим, что $\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$, так как знаменатели отличаются только знаком. Тогда перепишем:

$-\frac{1}{x-2}-1=\frac{1}{x-2}-\frac{6-x}{3(x^2-4)}$.

Переносим дробь $\frac{1}{x-2}$ в левую часть:

$-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-2}-1=-\frac{6-x}{3(x^2-4)}$.

Складываем дроби слева:

$-\frac{2}{x-2}-1=-\frac{6-x}{3(x-2)(x+2)}$.

Умножим обе части на общий знаменатель $3(x-2)(x+2)$, при условии, что $x\mathrm{\ne }2$ и $x\mathrm{\ne }-2$:

$-2\cdot 3(x+2)-3(x-2)(x+2)=-(6-x)$.

Раскроем скобки:

$-6x-12-3(x^2-4)=-6+x$.

Раскроем скобки ещё раз:

$-6x-12-3x^2+12=-6+x$.

Сокращаем $-12$ и $+12$:

$-6x-3x^2=-6+x$.

Переносим всё в левую часть:

$-3x^2-7x+6=0$.

Умножим обе части на $-1$:

$3x^2+7x-6=0$.

Вычислим дискриминант:

$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121={11}^2$.

Находим корни квадратного уравнения:

$x_1=\frac{-7-11}{2\cdot 3}=\frac{-18}{6}=-3$.

$x_2=\frac{-7+11}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Проверим область допустимых значений:

$x-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }2$.

$x+2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-2$.

Оба найденных корня допустимы.

Ответ: $-3;\frac{2}{3}$.

б) Начинаем с уравнения:

$\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2x^2-18}=\frac{1}{3-x}-1$.

Заметим, что $\frac{1}{3-x}=-\frac{1}{x-3}$. Тогда перепишем:

$\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2(x^2-9)}=-\frac{1}{x-3}-1$.

Переносим $-\frac{1}{x-3}$ в левую часть:

$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-3}-\frac{x+8}{2(x-3)(x+3)}+1=0$.

Получаем:

$\frac{2}{x-3}-\frac{x+8}{2(x-3)(x+3)}+1=0$.

Умножим обе части на $2(x-3)(x+3)$, при условии, что $x\mathrm{\ne }3$ и $x\mathrm{\ne }-3$:

$2\cdot 2(x+3)-(x+8)+2(x-3)(x+3)=0$.

Раскроем скобки:

$4x+12-x-8+2(x^2-9)=0$.

Собираем подобные:

$3x+4+2x^2-18=0$.

Приводим:

$2x^2+3x-14=0$.

Находим дискриминант:

$D=3^2+4\cdot 2\cdot 14=9+112=121={11}^2$.

Корни уравнения:

$x_1=\frac{-3-11}{2\cdot 2}=\frac{-14}{4}=-3.5$.

$x_2=\frac{-3+11}{2\cdot 2}=\frac{8}{4}=2$.

Проверим область допустимых значений:

$x\mathrm{\ne }3,x\mathrm{\ne }-3$. Найденные корни этим условиям не противоречат.

Ответ: $-3.5;2$.