ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 538 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (538–542).

а) $\frac{6}{x^2-2x}-\frac{12}{x^2+2x}=\frac{1}{x};$

б) $\frac{27}{x^2+3x}-\frac{2}{x}=\frac{3}{x^2-3x}\mathrm{.}$

а) $\frac{6}{x^2-2x}-\frac{12}{x^2+2x}=\frac{1}{x};$

$\frac{6}{x(x-2)}-\frac{12}{x(x+2)}=\frac{1}{x}\mathrm{\mid }\cdot (x-2)(x+2);$

$6(x+2)-12(x-2)=(x-2)(x+2);$

$6x+12-12x+24=x^2+2x-2x-4;$

$36-6x-36-4=0;$

$x^2+6x-40=0;$

$D=6^2+4\cdot 40=36+160=196={14}^2,$ тогда:

$x_1=\frac{-6-14}{2}=-10$ и $x_2=\frac{-6+14}{2}=4;$

Выражение имеет смысл при:

$x\mathrm{\ne }0;$

$x-2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }2;$

$x+2\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-2;$

Ответ: $-10;4.$

б) $\frac{27}{x^2+3x}-\frac{2}{x}=\frac{3}{x^2-3x};$

$\frac{27}{x(x+3)}-\frac{2}{x}=\frac{3}{x(x-3)}\mathrm{\mid }\cdot (x-3)(x+3);$

$27(x-3)-2(x-3)(x+3)=3(x+3);$

$27x-81-2(x^2-9)=3x+9;$

$27x-81-2x^2+18=0;$

$-2x^2+24x-72=0\mathrm{\mid }:(-2);$

$x^2-12x+36=0;$

$(x-6{)}^2=0;$

$x-6=0,$ отсюда $x=6;$

Выражение имеет смысл при:

$x\mathrm{\ne }0;$

$x-3\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }3;$

$x+3\mathrm{\ne }0,$ отсюда $x\mathrm{\ne }-3;$

Ответ: $6.$

а) $\frac{6}{x^2-2x}-\frac{12}{x^2+2x}=\frac{1}{x};$

1. Разложим знаменатели:

$$x^2-2x=x(x-2)$$$$x^2+2x=x(x+2)$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{6}{x(x-2)}-\frac{12}{x(x+2)}=\frac{1}{x}$$

2. Умножим обе части уравнения на $x(x-2)(x+2)$ для того, чтобы избавиться от знаменателей:

$$6(x+2)-12(x-2)=(x-2)(x+2)$$

3. Раскроем скобки на левой и правой части уравнения:

$$6(x+2)=6x+12$$$$-12(x-2)=-12x+24$$$$(x-2)(x+2)=x^2-4$$

Подставим в уравнение:

$$6x+12-12x+24=x^2-4$$

4. Упростим уравнение:

$$6x-12x+12+24=x^2-4$$$$-6x+36=x^2-4$$

5. Переносим все члены на одну сторону:

$$-6x+36-x^2+4=0$$$$-x^2-6x+40=0$$

Умножаем на $-1$:

$$x^2+6x-40=0$$

6. Решаем квадратное уравнение $x^2+6x-40=0$ с помощью дискриминанта. Находим дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot (-40)=36+160=196$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-6-\sqrt{196}}{2}=\frac{-6-14}{2}=-10$$

$$$$$$x_2=\frac{-6+\sqrt{196}}{2}=\frac{-6+14}{2}=4$$

7. Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x\mathrm{\ne }0$ (из-за знаменателей),
• $x-2\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }2$,
• $x+2\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }-2$.

Ответ: $-10;4$.

б) $\frac{27}{x^2+3x}-\frac{2}{x}=\frac{3}{x^2-3x};$

1. Разложим знаменатели:

$$x^2+3x=x(x+3)$$$$x^2-3x=x(x-3)$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{27}{x(x+3)}-\frac{2}{x}=\frac{3}{x(x-3)}$$

2. Умножим обе части уравнения на $x(x+3)(x-3)$ для избавления от знаменателей:

$$27(x-3)-2(x-3)(x+3)=3(x+3)$$

3. Раскроем скобки на левой и правой части уравнения:

$$27(x-3)=27x-81$$$$-2(x-3)(x+3)=-2(x^2-9)=-2x^2+18$$$$3(x+3)=3x+9$$

Подставим в уравнение:

$$27x-81-2x^2+18=3x+9$$

4. Упростим уравнение:

$$27x-2x^2-81+18=3x+9$$$$-2x^2+27x-63=3x+9$$

5. Переносим все члены на одну сторону:

$$-2x^2+27x-63-3x-9=0$$$$-2x^2+24x-72=0$$

Умножим на $-1$:

$$2x^2-24x+72=0$$

6. Разделим на 2:

$$x^2-12x+36=0$$

7. Это полное квадратное уравнение:

$$(x-6{)}^2=0$$

8. Решение:

$$x-6=0,x=6$$

9. Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл:

• $x\mathrm{\ne }0$,
• $x-3\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }3$,
• $x+3\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }-3$.

Ответ: $6$.