ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 537 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение двумя способами:

а) $x^6-1=0;$

б) $x^6-64=0.$

Указание.
1-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность квадратов;
2-й способ: преобразуйте левую часть уравнения как разность кубов.

а) $x^6-1=0;$

Первый способ:

$(x^3-1)(x^3+1)=0;$

${\mathrm{1)\; x}}^3-1=0;$

$x^3=1,$ отсюда $x=1;$

${\mathrm{2)\; x}}^3+1=0;$

$x^3=-1,$ отсюда $x=-1;$

Второй способ:

$(x^2-1)(x^4+x^2+1)=0;$

${\mathrm{1)\; x}}^2-1=0;$

$x^2=1,$ отсюда $x=\pm 1;$

${\mathrm{2)\; x}}^4+x^2+1=0;$

$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3;$

$D<0,$ значит корней нет;

Ответ: $-1;1.$

б) $x^6-64=0;$

Первый способ:

$(x^3-8)(x^3+8)=0;$

${\mathrm{1)\; x}}^3-8=0;$

$x^3=8,$ отсюда $x=2;$

${\mathrm{2)\; x}}^3+8=0;$

$x^3=-8,$ отсюда $x=-2;$

Второй способ:

$(x^2-4)(x^4+4x^2+16)=0;$

${\mathrm{1)\; x}}^2-4=0;$

$x^2=4,$ отсюда $x=\pm 2;$

${\mathrm{2)\; x}}^4+4x^2+16=0;$

$D=4^2-4\cdot 1\cdot 16=16-64=-48;$

$D<0,$ значит корней нет;

Ответ: $-2;2.$

а) $x^6-1=0;$

Первый способ:

Разлагаем $x^6-1$ как разность кубов:

$$x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)$$

Теперь решаем $(x^3-1)=0$ и $(x^3+1)=0$:

Для $x^3-1=0$:

$$x^3=1$$

Корень из куба числа 1:

$$x=1$$

Для $x^3+1=0$:

$$x^3=-1$$

Корень из куба числа -1:

$$x=-1$$

Ответ: $1;-1$.

Второй способ:

Разлагаем $x^6-1$ как разность квадратов:

$$x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)$$

Теперь решаем $x^2-1=0$ и $x^4+x^2+1=0$:

Для $x^2-1=0$:

$$x^2=1$$

Корни из этого уравнения:

$$x=\pm 1$$

Для $x^4+x^2+1=0$:

Решаем дискриминант $D$ для $x^2$:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$$

Так как $D<0$, решений для $x^2$ нет.

Ответ: $1;-1$.

б) $x^6-64=0;$

Первый способ:

Разлагаем $x^6-64$ как разность кубов:

$$x^6-64=(x^3-8)(x^3+8)$$

Теперь решаем $(x^3-8)=0$ и $(x^3+8)=0$:

Для $x^3-8=0$:

$$x^3=8$$

Корень из куба числа 8:

$$x=2$$

Для $x^3+8=0$:

$$x^3=-8$$

Корень из куба числа -8:

$$x=-2$$

Ответ: $2;-2$.

Второй способ:

Разлагаем $x^6-64$ как разность квадратов:

$$x^6-64=(x^2-4)(x^4+4x^2+16)$$

Теперь решаем $x^2-4=0$ и $x^4+4x^2+16=0$:

Для $x^2-4=0$:

$$x^2=4$$

Корни из этого уравнения:

$$x=\pm 2$$

Для $x^4+4x^2+16=0$:

Решаем дискриминант $D$ для $x^2$:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 16=16-64=-48$$

Так как $D<0$, решений для $x^2$ нет.

Ответ: $2;-2$.