ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 530 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (528—530).

а) $(a+b+c)(bc+ac+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b)$;

б) $(a-b)(b-c)(a-c)=ab(a-b)-ac(a-c)-bc(c-b)$.

а) $(a+b+c)(bc+ac+ab)-abc=$

$=abc+a^{2}c+a^{2}b+b^{2}c+abc+a{b}^2+b{c}^2+a{c}^2+abc-abc=$

$=(abc+b^{2}c)+(b{c}^2+a{c}^2)+(a^{2}c+ac)+(a^{2}b+a{b}^2)=$

$=bc(a+b)+c^2(b+a)+ac(a+b)+ab(a+b)=$

$=(a+b)(bc+c^2+ac+ab)=(a+b)\cdot (c(b+c)+a(b+c))=$

$=(a+b)(b+c)(a+c);$

Тождество доказано.

б) $(a-b)(b-c)(a-c)=(a-b)(ab-bc-ac+c^2)=$

$=a^{2}b-abc-a^{2}c+a{c}^2-a{b}^2+b^{2}c+abc-b{c}^2=$

$=(a^{2}b-a{b}^2)-(a^{2}c+a{c}^2)-(b{c}^2+b^{2}c)=$

$=ab(a-b)-ac(a-c)-bc(c-b);$

Тождество доказано.

а) $(a+b+c)(bc+ac+ab)-abc=$

1. Начнем с раскрытия первого произведения:

$$(a+b+c)(bc+ac+ab)$$

Для этого раскроем каждое из произведений:

$$(a+b+c)(bc)=a\cdot bc+b\cdot bc+c\cdot bc=abc+b^{2}c+b{c}^2$$$$(a+b+c)(ac)=a\cdot ac+b\cdot ac+c\cdot ac=a^{2}c+abc+a{c}^2$$$$(a+b+c)(ab)=a\cdot ab+b\cdot ab+c\cdot ab=a^{2}b+a{b}^2+abc$$

Теперь складываем все полученные выражения:

$$abc+b^{2}c+b{c}^2+a^{2}c+abc+a{c}^2+a^{2}b+a{b}^2+abc$$

Объединим подобные члены:

$$=3abc+a^{2}c+a^{2}b+b^{2}c+a{b}^2+b{c}^2+a{c}^2$$

Теперь вычитаем $abc$:

$$3abc+a^{2}c+a^{2}b+b^{2}c+a{b}^2+b{c}^2+a{c}^2-abc=2abc+a^{2}c+a^{2}b+b^{2}c+a{b}^2+b{c}^2+a{c}^2$$

2. Теперь сгруппируем по формам:

$$=(abc+b^{2}c)+(b{c}^2+a{c}^2)+(a^{2}c+ac)+(a^{2}b+a{b}^2)$$

Выносим общий множитель из каждой группы:

$$=bc(a+b)+c^2(b+a)+ac(a+b)+ab(a+b)$$

Теперь выносим общий множитель $(a+b)$ из всего выражения:

$$=(a+b)(bc+c^2+ac+ab)$$

Распишем внутреннее произведение:

$$=(a+b)\cdot (c(b+c)+a(b+c))$$

Теперь можно сгруппировать все множители:

$$=(a+b)(b+c)(a+c)$$

Таким образом, тождество доказано.

б) $(a-b)(b-c)(a-c)=(a-b)(ab-bc-ac+c^2)=$

1. Начнем с раскрытия выражения $(a-b)(ab-bc-ac+c^2)$:
Раскроем скобки:

$$(a-b)(ab-bc-ac+c^2)=a\cdot (ab-bc-ac+c^2)-b\cdot (ab-bc-ac+c^2)$$

Теперь раскроем каждое из произведений:

$$a\cdot (ab-bc-ac+c^2)=a^{2}b-abc-a^{2}c+a{c}^2$$$$-b\cdot (ab-bc-ac+c^2)=-a{b}^2+b^{2}c+abc-b{c}^2$$

Теперь складываем все эти выражения:

$$a^{2}b-abc-a^{2}c+a{c}^2-a{b}^2+b^{2}c+abc-b{c}^2$$

Объединяем подобные члены:

$$=a^{2}b-a{b}^2-a^{2}c+a{c}^2+b^{2}c-b{c}^2$$

Группируем члены:

$$=(a^{2}b-a{b}^2)-(a^{2}c+a{c}^2)-(b{c}^2+b^{2}c)$$

Выносим общий множитель из каждой группы:

$$=ab(a-b)-ac(a-c)-bc(c-b)$$

Таким образом, тождество доказано.