ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 529 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 529 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Докажите тождество (528—530).

а) $\frac{x^{2} - (y + z)^{2}}{(x - z)^{2} - y^{2}} + \frac{(x - y)^{2} - z^{2}}{x^{2} - (y - z)^{2}} + \frac{y^{2} - (z + x)^{2}}{(x + y)^{2} - z^{2}} = 1$ ;

б) $\frac{a c - b c - c^{2}}{(a - c)^{2} - b^{2}} - \frac{a b + b c - b^{2}}{a^{2} - (b - c)^{2}} - \frac{a c + a b + a^{2}}{(a + b)^{2} - c^{2}} = - 1$ .

Краткий ответ

а) $\frac{x^{2} - (y + z)^{2}}{(x - z)^{2} - y^{2}} + \frac{(x - y)^{2} - z^{2}}{x^{2} - (y - z)^{2}} + \frac{y^{2} - (z + x)^{2}}{(x + y)^{2} - z^{2}} = 1$ ;

Сократим дроби:

$\frac{x^{2} - (y + z)^{2}}{(x - z)^{2} - y^{2}} = \frac{(x - y - z) (x + y + z)}{(x - z - y) (x - z + y)} = \frac{x + y + z}{x - z - y};$

$\frac{(x - y)^{2} - z^{2}}{x^{2} - (y - z)^{2}} = \frac{(x - y - z) (x - y + z)}{(x - y + z) (x + y - z)} = \frac{x - y - z}{x + y - z};$

$\frac{y^{2} - (z + x)^{2}}{(x + y)^{2} - z^{2}} = \frac{(y - z - x) (y + z + x)}{(x + y - z) (x + y + z)} = \frac{y - z - x}{x + y - z};$

Получим тождество:

$\frac{x + y + z + x - y - z + y - z - x}{x + y - z} = 1;$

$\frac{x + y - z}{x + y - z} = 1;$

$1 = 1;$

Тождество доказано.

б) $\frac{a c - b c - c^{2}}{(a - c)^{2} - b^{2}} - \frac{a b + b c - b^{2}}{a^{2} - (b - c)^{2}} - \frac{a c + a b + a^{2}}{(a + b)^{2} - c^{2}} = - 1$ ;

Сократим дроби:

$\frac{a c - b c - c^{2}}{(a - c)^{2} - b^{2}} = \frac{c (a - b - c)}{(a - c - b) (a - c + b)} = \frac{c}{a - c + b};$

$\frac{a b + b c - b^{2}}{a^{2} - (b - c)^{2}} = \frac{b (a + c - b)}{(a - b + c) (a + b - c)} = \frac{b}{a + b - c};$

$\frac{a c + a b + a^{2}}{(a + b)^{2} - c^{2}} = \frac{a (c + b + a)}{(a + b - c) (a + b + c)} = \frac{a}{a + b - c};$

Получим тождество:

$\frac{c - b - a}{a + b - c} = - 1;$

$- \frac{a + b + c}{a + b - c} = - 1;$

$- 1 = - 1;$

Тождество доказано.

Подробный ответ

а) $\frac{x^{2} - (y + z)^{2}}{(x - z)^{2} - y^{2}} + \frac{(x - y)^{2} - z^{2}}{x^{2} - (y - z)^{2}} + \frac{y^{2} - (z + x)^{2}}{(x + y)^{2} - z^{2}} = 1$ ;

Рассмотрим первую дробь:

$\frac{x^{2} - (y + z)^{2}}{(x - z)^{2} - y^{2}}$

Числитель можно упростить, используя разность квадратов:

$x^{2} - (y + z)^{2} = (x - (y + z)) (x + (y + z)) = (x - y - z) (x + y + z)$

Знаменатель также является разностью квадратов:

$(x - z)^{2} - y^{2} = ((x - z) - y) ((x - z) + y) = (x - z - y) (x - z + y)$

Таким образом, первая дробь примет вид:

$\frac{(x - y - z) (x + y + z)}{(x - z - y) (x - z + y)}$

Сократим общий множитель $(x - z - y)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x + y + z}{x - z - y}$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$\frac{(x - y)^{2} - z^{2}}{x^{2} - (y - z)^{2}}$

Числитель можно также привести к разности квадратов:

$(x - y)^{2} - z^{2} = (x - y - z) (x - y + z)$

Знаменатель:

$x^{2} - (y - z)^{2} = (x - (y - z)) (x + (y - z)) = (x - y + z) (x + y - z)$

Таким образом, вторая дробь примет вид:

$\frac{(x - y - z) (x - y + z)}{(x + y - z) (x - y + z)}$

Сократим общий множитель $(x - y + z)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x - y - z}{x + y - z}$

Рассмотрим третью дробь:

$\frac{y^{2} - (z + x)^{2}}{(x + y)^{2} - z^{2}}$

Числитель:

$y^{2} - (z + x)^{2} = (y - (z + x)) (y + (z + x)) = (y - z - x) (y + z + x)$

Знаменатель:

$(x + y)^{2} - z^{2} = ((x + y) - z) ((x + y) + z) = (x + y - z) (x + y + z)$

Таким образом, третья дробь примет вид:

$\frac{(y - z - x) (y + z + x)}{(x + y - z) (x + y + z)}$

Сократим общий множитель $(x + y + z)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{y - z - x}{x + y - z}$

Теперь объединяем все дроби:

$\frac{x + y + z}{x - z - y} + \frac{x - y - z}{x + y - z} + \frac{y - z - x}{x + y - z}$

Объединяем все члены:

$\frac{x + y + z + x - y - z + y - z - x}{x + y - z} = \frac{x + y - z}{x + y - z}$

Получаем:

$\frac{x + y - z}{x + y - z} = 1$

Таким образом, тождество доказано.

б) $\frac{a c - b c - c^{2}}{(a - c)^{2} - b^{2}} - \frac{a b + b c - b^{2}}{a^{2} - (b - c)^{2}} - \frac{a c + a b + a^{2}}{(a + b)^{2} - c^{2}} = - 1$ ;

Рассмотрим первую дробь:

$\frac{a c - b c - c^{2}}{(a - c)^{2} - b^{2}}$

Числитель можно переписать так:

$a c - b c - c^{2} = c (a - b - c)$

Знаменатель является разностью квадратов:

$(a - c)^{2} - b^{2} = (a - c - b) (a - c + b)$

Таким образом, первая дробь примет вид:

$\frac{c (a - b - c)}{(a - c - b) (a - c + b)}$

Сократим $(a - c - b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{c}{a - c + b}$

Рассмотрим вторую дробь:

$\frac{a b + b c - b^{2}}{a^{2} - (b - c)^{2}}$

Числитель можно переписать как:

$a b + b c - b^{2} = b (a + c - b)$

Знаменатель снова является разностью квадратов:

$a^{2} - (b - c)^{2} = (a - b + c) (a + b - c)$

Таким образом, вторая дробь примет вид:

$\frac{b (a + c - b)}{(a - b + c) (a + b - c)}$

Сократим $(a + c - b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{b}{a + b - c}$

Рассмотрим третью дробь:

$\frac{a c + a b + a^{2}}{(a + b)^{2} - c^{2}}$

Числитель:

$a c + a b + a^{2} = a (c + b + a)$

Знаменатель является разностью квадратов:

$(a + b)^{2} - c^{2} = (a + b - c) (a + b + c)$

Таким образом, третья дробь примет вид:

$\frac{a (c + b + a)}{(a + b - c) (a + b + c)}$

Сократим $(a + b + c)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{a}{a + b - c}$

Теперь объединяем все дроби:

$\frac{c}{a - c + b} - \frac{b}{a + b - c} - \frac{a}{a + b - c}$

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{c (a + b - c) - b (a - c + b) - a (a - c + b)}{(a + b - c) (a - c + b)}$

Упрощаем числитель:

$c (a + b - c) - b (a - c + b) - a (a - c + b) = - a - b - c$

Таким образом, получаем:

$- \frac{a + b + c}{a + b - c}$

И получаем:

$- \frac{a + b + c}{a + b - c} = - 1$

Тождество доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

3.8 / 5

Комментарии

Оставь свой отзыв 💬

Комментариев пока нет, будьте первым!

Другие предметы

ГДЗ Дорофеев 7, 8, 9 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

7-9 класс

7 8 9

ГДЗ Дорофеев 1, 2, 3, 4, 5, 6 Класс по Математике Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно

1-6 класс

1 2 3 4 5 6