ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 529 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (528—530).

а) ${\displaystyle \frac{x^2-(y+z{)}^2}{(x-z{)}^2-y^2}}+{\displaystyle \frac{(x-y{)}^2-z^2}{x^2-(y-z{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2-(z+x{)}^2}{(x+y{)}^2-z^2}}=1$;

б) ${\displaystyle \frac{ac-bc-c^2}{(a-c{)}^2-b^2}}-{\displaystyle \frac{ab+bc-b^2}{a^2-(b-c{)}^2}}-{\displaystyle \frac{ac+ab+a^2}{(a+b{)}^2-c^2}}=-1$.

а) ${\displaystyle \frac{x^2-(y+z{)}^2}{(x-z{)}^2-y^2}}+{\displaystyle \frac{(x-y{)}^2-z^2}{x^2-(y-z{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2-(z+x{)}^2}{(x+y{)}^2-z^2}}=1$;

Сократим дроби:

$$\frac{x^2-(y+z{)}^2}{(x-z{)}^2-y^2}=\frac{(x-y-z)(x+y+z)}{(x-z-y)(x-z+y)}=\frac{x+y+z}{x-z-y};$$

$$$$$$\frac{(x-y{)}^2-z^2}{x^2-(y-z{)}^2}=\frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x-y+z)(x+y-z)}=\frac{x-y-z}{x+y-z};$$

$$$$$$\frac{y^2-(z+x{)}^2}{(x+y{)}^2-z^2}=\frac{(y-z-x)(y+z+x)}{(x+y-z)(x+y+z)}=\frac{y-z-x}{x+y-z};$$

Получим тождество:

$$\frac{x+y+z+x-y-z+y-z-x}{x+y-z}=1;$$

$$$$$$\frac{x+y-z}{x+y-z}=1;$$

$$$$$$1=1;$$

Тождество доказано.

б) ${\displaystyle \frac{ac-bc-c^2}{(a-c{)}^2-b^2}}-{\displaystyle \frac{ab+bc-b^2}{a^2-(b-c{)}^2}}-{\displaystyle \frac{ac+ab+a^2}{(a+b{)}^2-c^2}}=-1$;

Сократим дроби:

$$\frac{ac-bc-c^2}{(a-c{)}^2-b^2}=\frac{c(a-b-c)}{(a-c-b)(a-c+b)}=\frac{c}{a-c+b};$$

$$$$$$\frac{ab+bc-b^2}{a^2-(b-c{)}^2}=\frac{b(a+c-b)}{(a-b+c)(a+b-c)}=\frac{b}{a+b-c};$$

$$$$$$\frac{ac+ab+a^2}{(a+b{)}^2-c^2}=\frac{a(c+b+a)}{(a+b-c)(a+b+c)}=\frac{a}{a+b-c};$$

Получим тождество:

$$\frac{c-b-a}{a+b-c}=-1;$$

$$$$$$-\frac{a+b+c}{a+b-c}=-1;$$

$$$$$$-1=-1;$$

Тождество доказано.

а) ${\displaystyle \frac{x^2-(y+z{)}^2}{(x-z{)}^2-y^2}}+{\displaystyle \frac{(x-y{)}^2-z^2}{x^2-(y-z{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2-(z+x{)}^2}{(x+y{)}^2-z^2}}=1$;

Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{x^2-(y+z{)}^2}{(x-z{)}^2-y^2}$$

Числитель можно упростить, используя разность квадратов:

$$x^2-(y+z{)}^2=(x-(y+z))(x+(y+z))=(x-y-z)(x+y+z)$$

Знаменатель также является разностью квадратов:

$$(x-z{)}^2-y^2=((x-z)-y)((x-z)+y)=(x-z-y)(x-z+y)$$

Таким образом, первая дробь примет вид:

$$\frac{(x-y-z)(x+y+z)}{(x-z-y)(x-z+y)}$$

Сократим общий множитель $(x-z-y)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x+y+z}{x-z-y}$$

Теперь рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{(x-y{)}^2-z^2}{x^2-(y-z{)}^2}$$

Числитель можно также привести к разности квадратов:

$$(x-y{)}^2-z^2=(x-y-z)(x-y+z)$$

Знаменатель:

$$x^2-(y-z{)}^2=(x-(y-z))(x+(y-z))=(x-y+z)(x+y-z)$$

Таким образом, вторая дробь примет вид:

$$\frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x+y-z)(x-y+z)}$$

Сократим общий множитель $(x-y+z)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{x-y-z}{x+y-z}$$

Рассмотрим третью дробь:

$$\frac{y^2-(z+x{)}^2}{(x+y{)}^2-z^2}$$

Числитель:

$$y^2-(z+x{)}^2=(y-(z+x))(y+(z+x))=(y-z-x)(y+z+x)$$

Знаменатель:

$$(x+y{)}^2-z^2=((x+y)-z)((x+y)+z)=(x+y-z)(x+y+z)$$

Таким образом, третья дробь примет вид:

$$\frac{(y-z-x)(y+z+x)}{(x+y-z)(x+y+z)}$$

Сократим общий множитель $(x+y+z)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{y-z-x}{x+y-z}$$

Теперь объединяем все дроби:

$$\frac{x+y+z}{x-z-y}+\frac{x-y-z}{x+y-z}+\frac{y-z-x}{x+y-z}$$

Объединяем все члены:

$$\frac{x+y+z+x-y-z+y-z-x}{x+y-z}=\frac{x+y-z}{x+y-z}$$

Получаем:

$$\frac{x+y-z}{x+y-z}=1$$

Таким образом, тождество доказано.

б) ${\displaystyle \frac{ac-bc-c^2}{(a-c{)}^2-b^2}}-{\displaystyle \frac{ab+bc-b^2}{a^2-(b-c{)}^2}}-{\displaystyle \frac{ac+ab+a^2}{(a+b{)}^2-c^2}}=-1$;

Рассмотрим первую дробь:

$$\frac{ac-bc-c^2}{(a-c{)}^2-b^2}$$

Числитель можно переписать так:

$$ac-bc-c^2=c(a-b-c)$$

Знаменатель является разностью квадратов:

$$(a-c{)}^2-b^2=(a-c-b)(a-c+b)$$

Таким образом, первая дробь примет вид:

$$\frac{c(a-b-c)}{(a-c-b)(a-c+b)}$$

Сократим $(a-c-b)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{c}{a-c+b}$$

Рассмотрим вторую дробь:

$$\frac{ab+bc-b^2}{a^2-(b-c{)}^2}$$

Числитель можно переписать как:

$$ab+bc-b^2=b(a+c-b)$$

Знаменатель снова является разностью квадратов:

$$a^2-(b-c{)}^2=(a-b+c)(a+b-c)$$

Таким образом, вторая дробь примет вид:

$$\frac{b(a+c-b)}{(a-b+c)(a+b-c)}$$

Сократим $(a+c-b)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{b}{a+b-c}$$

Рассмотрим третью дробь:

$$\frac{ac+ab+a^2}{(a+b{)}^2-c^2}$$

Числитель:

$$ac+ab+a^2=a(c+b+a)$$

Знаменатель является разностью квадратов:

$$(a+b{)}^2-c^2=(a+b-c)(a+b+c)$$

Таким образом, третья дробь примет вид:

$$\frac{a(c+b+a)}{(a+b-c)(a+b+c)}$$

Сократим $(a+b+c)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{a}{a+b-c}$$

Теперь объединяем все дроби:

$$\frac{c}{a-c+b}-\frac{b}{a+b-c}-\frac{a}{a+b-c}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{c(a+b-c)-b(a-c+b)-a(a-c+b)}{(a+b-c)(a-c+b)}$$

Упрощаем числитель:

$$c(a+b-c)-b(a-c+b)-a(a-c+b)=-a-b-c$$

Таким образом, получаем:

$$-\frac{a+b+c}{a+b-c}$$

И получаем:

$$-\frac{a+b+c}{a+b-c}=-1$$

Тождество доказано.