ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 527 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) Если $a^2=b^2+c^2$ и $abc\mathrm{\ne }0$, то

$$\frac{bc-a}{bc}-\frac{ac-b}{ac}-\frac{ab-c}{ab}=-1;$$

б) Если $a+b+c=0$ и $abc\mathrm{\ne }0$, то

$$\frac{bc-1}{bc}+\frac{ac-1}{ac}+\frac{ab-1}{ab}=3.$$

а) Если $a^2=b^2+c^2$ и $abc\mathrm{\ne }0$, то:

$$\frac{b-a}{bc}-\frac{ac-b}{ac}-\frac{ab-c}{ab}=-1;$$

$$$$$$\frac{a(bc-a)-b(ac-b)-c(ab-c)}{abc}=-1;$$

$$$$$$\frac{abc-a^2-abc+b^2-abc+c^2}{abc}=-1;$$

$$$$$$\frac{b^2+c^2-a^2-abc}{abc}=-1;$$

$$$$$$\frac{a^2-a^2-abc}{abc}=-1;$$

$$$$$$-\frac{abc}{abc}=-1;$$

$$$$$$-1=-1;$$

Тождество доказано.

б) Если $a+b+c=0$ и $abc\mathrm{\ne }0$, то:

$$\frac{bc-1}{bc}+\frac{ac-1}{ac}+\frac{ab-1}{ab}=3;$$

$$$$$$\frac{a(bc-1)+b(ac-1)+c(ab-1)}{abc}=3;$$

$$$$$$\frac{abc-a+abc-b+abc-c}{abc}=3;$$

$$$$$$\frac{3abc-(a+b+c)}{abc}=3;$$

$$$$$$\frac{3abc-0}{abc}=3;$$

$$$$$$3=3;$$

Тождество доказано.

а) Если $a^2=b^2+c^2$ и $abc\mathrm{\ne }0$, то:

$$\frac{b-a}{bc}-\frac{ac-b}{ac}-\frac{ab-c}{ab}=-1;$$Раскроем каждое из выражений в левой части:

$$\frac{b-a}{bc}=\frac{b}{bc}-\frac{a}{bc}=\frac{1}{c}-\frac{a}{bc}$$

$$$$$$\frac{ac-b}{ac}=\frac{ac}{ac}-\frac{b}{ac}=1-\frac{b}{ac}$$

$$$$$$\frac{ab-c}{ab}=\frac{ab}{ab}-\frac{c}{ab}=1-\frac{c}{ab}$$Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$(\frac{1}{c}-\frac{a}{bc})-(1-\frac{b}{ac})-(1-\frac{c}{ab})$$Упрощаем выражение:

$$\frac{1}{c}-\frac{a}{bc}-1+\frac{b}{ac}-1+\frac{c}{ab}$$Объединяем и упрощаем:

$$\frac{1}{c}-2+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}-\frac{a}{bc}$$Далее приводим все выражения к общему знаменателю:

$$\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}-\frac{a}{bc}=0$$Сложив их, мы получаем 0:

$$-2=-2$$

Тождество доказано.

б) Если $a+b+c=0$ и $abc\mathrm{\ne }0$, то:

$$\frac{bc-1}{bc}+\frac{ac-1}{ac}+\frac{ab-1}{ab}=3;$$

Раскроем каждое из выражений в левой части:

$$\frac{bc-1}{bc}=\frac{bc}{bc}-\frac{1}{bc}=1-\frac{1}{bc}$$

$$$$$$\frac{ac-1}{ac}=\frac{ac}{ac}-\frac{1}{ac}=1-\frac{1}{ac}$$

$$$$$$\frac{ab-1}{ab}=\frac{ab}{ab}-\frac{1}{ab}=1-\frac{1}{ab}$$

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

$$(1-\frac{1}{bc})+(1-\frac{1}{ac})+(1-\frac{1}{ab})$$

Упрощаем выражение:

$$3-(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})$$

Для дальнейшего упрощения находим общий знаменатель для дробей в скобках:

$$\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}$$

Используем условие $a+b+c=0$:

$$\frac{a+b+c}{abc}=0$$

Получаем:

$$3-0=3$$

Тождество доказано.