ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 526 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) ${\displaystyle \frac{x^4-x^2-2x-1}{x^4-3x^2+1}}$;

б) ${\displaystyle \frac{x^4-y^4}{x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4}}$.

а) ${\displaystyle \frac{x^4-x^2-2x-1}{x^4-3x^2+1}}={\displaystyle \frac{x^4-(x^2+2x+1)}{(x^4-2x^2+1)-x^2}}={\displaystyle \frac{x^4-(x+1{)}^2}{(x^2-1{)}^2-x^2}}=$

${\displaystyle \frac{(x^2-x-1)(x^2+x+1)}{(x^2-1-x)(x^2-1+x)}}={\displaystyle \frac{x^2+x+1}{x^2+x-1}}$;

б) ${\displaystyle \frac{x^4-y^4}{x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4}}={\displaystyle \frac{x^4-y^4}{(x^4+2x^2{y}^2+y^4)+(2x^{3}y+2x{y}^3)}}=$

${\displaystyle \frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)}}={\displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy)}}=$

${\displaystyle \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}}={\displaystyle \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y{)}^2}}={\displaystyle \frac{x-y}{x+y}}$.

а) Рассмотрим выражение:

$$\frac{x^4-x^2-2x-1}{x^4-3x^2+1}$$

Шаг 1: В числителе выражения $x^4-x^2-2x-1$ можем выделить квадрат разности в виде $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$, что позволяет преобразовать его следующим образом:

$$x^4-x^2-2x-1=x^4-(x^2+2x+1)$$

Шаг 2: Теперь перейдем к знаменателю $x^4-3x^2+1$. Мы можем также выразить его в виде разности квадратов:

$$x^4-3x^2+1=(x^2-1{)}^2-x^2$$

Шаг 3: После подстановки этих выражений получаем:

$$\frac{x^4-(x^2+2x+1)}{(x^4-2x^2+1)-x^2}=\frac{x^4-(x+1{)}^2}{(x^2-1{)}^2-x^2}$$

Шаг 4: Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель раскладывается как произведение двух полиномов:

$$x^4-(x+1{)}^2=(x^2-x-1)(x^2+x+1)$$

В знаменателе:

$$(x^2-1{)}^2-x^2=(x^2-1-x)(x^2-1+x)$$

Шаг 5: Подставляем полученные результаты:

$$\frac{(x^2-x-1)(x^2+x+1)}{(x^2-1-x)(x^2-1+x)}=\frac{x^2+x+1}{x^2+x-1}$$

б) Рассмотрим выражение:

$$\frac{x^4-y^4}{x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4}$$

Шаг 1: Начнем с числителя. Мы видим разность квадратов:

$$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$$

Шаг 2: Теперь рассмотрим знаменатель. Мы видим, что это полное выражение разложения квадрата суммы:

$$x^4+2x^{3}y+2x^2{y}^2+2x{y}^3+y^4=(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)$$

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение и упрощаем:

$$\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2{)}^2+2xy(x^2+y^2)}=\frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x^2+y^2+2xy)}$$

Шаг 4: Упростим выражение, выделив общий множитель $(x^2+y^2)$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}$$

Шаг 5: Теперь распишем разность квадратов в числителе:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

Шаг 6: Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y{)}^2}$$

Шаг 7: Упростим выражение:

$$=\frac{x-y}{x+y}$$