ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 525 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (524—526).

а) ${\displaystyle \frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}}$;

б) ${\displaystyle \frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}}$;

в) ${\displaystyle \frac{(3x-3y{)}^2\cdot (2x-2y{)}^2}{(6y-6x{)}^3}}$.

а) ${\displaystyle \frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}}={\displaystyle \frac{4a^2-8ab+4b^2}{8(b-a)}}={\displaystyle \frac{4(b^2-2ab+a^2)}{8(b-a)}}=$

${\displaystyle \frac{4(b-a{)}^2}{8(b-a)}}={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$;

б) ${\displaystyle \frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}}={\displaystyle \frac{4(m^2-n^2)}{16n^2-32+16n^2}}={\displaystyle \frac{4(m^2-n^2)}{16(m^2-2mn+n^2)}}=$

${\displaystyle \frac{4(m-n)(m+n)}{16(m-n{)}^2}}={\displaystyle \frac{m+n}{4(m-n)}}$;

в) ${\displaystyle \frac{(3x-3y{)}^2\cdot (2x-2y{)}^2}{(6y-6x{)}^3}}={\displaystyle \frac{(3\cdot (x-y){)}^2\cdot (2\cdot (x-y){)}^2}{(6\cdot (y-x){)}^3}}=$

${\displaystyle \frac{9(y-x{)}^2\cdot 4(y-x{)}^2}{216(y-x{)}^3}}={\displaystyle \frac{36\cdot (y-x{)}^4}{216\cdot (y-x{)}^3}}={\displaystyle \frac{y-x}{6}}$.

а) ${\displaystyle \frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}}$;
Для начала, выделим выражение в числителе и знаменателе:

$$\frac{(2a-2b{)}^2}{8b-8a}=\frac{4a^2-8ab+4b^2}{8(b-a)}\mathrm{.}$$

Далее можно заметить, что числитель можно факторизовать как разность квадратов:

$$=\frac{4(b^2-2ab+a^2)}{8(b-a)}=\frac{4(b-a{)}^2}{8(b-a)}\mathrm{.}$$

Теперь, если $b\mathrm{\ne }a$, можем сократить на $(b-a)$ в числителе и знаменателе:

$$=\frac{b-a}{2}\mathrm{.}$$

б) ${\displaystyle \frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}}$;
Сначала можно воспользоваться формулой разности квадратов для числителя:

$$\frac{4m^2-4n^2}{(4n-4m{)}^2}=\frac{4(m^2-n^2)}{(4n-4m{)}^2}=\frac{4(m-n)(m+n)}{16(n-m{)}^2}\mathrm{.}$$

Заменяем $(4n-4m)$ на $4(n-m)$, и затем можно упростить:

$$=\frac{(m-n)(m+n)}{4(n-m{)}^2}\mathrm{.}$$

Так как $(n-m{)}^2=(m-n{)}^2$, то получаем:

$$=\frac{m+n}{4(m-n)}\mathrm{.}$$

в) ${\displaystyle \frac{(3x-3y{)}^2\cdot (2x-2y{)}^2}{(6y-6x{)}^3}}$;
Начнем с выделения общих множителей в числителе и знаменателе:

$$=\frac{(3(x-y){)}^2\cdot (2(x-y){)}^2}{(6(y-x){)}^3}\mathrm{.}$$

Теперь упростим каждое из выражений:

$$=\frac{9(x-y{)}^2\cdot 4(x-y{)}^2}{216(y-x{)}^3}\mathrm{.}$$

Так как $(y-x)=-(x-y)$, то подставим:

$$=\frac{36(x-y{)}^4}{216(x-y{)}^3}=\frac{(x-y)}{6}\mathrm{.}$$