ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 524 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (524—526).
а) ${\displaystyle \frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-(a-3)}}$;

б) ${\displaystyle \frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a{)}^2}}$;

в) ${\displaystyle \frac{x^3-y^3}{y^2-x^2}}\cdot {\displaystyle \frac{x-1}{x}}$.

а) ${\displaystyle \frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-a(a-3)}}={\displaystyle \frac{-1\cdot (3-a)\cdot (-1)\cdot (2-a)}{(a-3)(2-a)}}={\displaystyle \frac{(a-3)(2-a)}{(a-3)(2-a)}}=1$;

б) ${\displaystyle \frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a{)}^2}}={\displaystyle \frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(a-b{)}^2}}={\displaystyle \frac{(a+b)(a-c)}{a-b}}$;

в) ${\displaystyle \frac{(x^3-y^3)(x-1)}{y^2-x^2}}={\displaystyle \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)\cdot (x-1)}{(y-x)(y+x)}}=$

${\displaystyle \frac{-(y-x)(x^2+xy+y^2)\cdot (x-1)}{(y-x)(y+x)}}={\displaystyle \frac{(x^2+xy+y^2)(1-x)}{x+y}}$.

а) ${\displaystyle \frac{(3-a)(a-2)}{2(a-3)-a(a-3)}}$

Раскроем скобки в числителе:

$$(3-a)(a-2)=3a-6-a^2+2a=-a^2+5a-6.$$

Теперь раскрываем скобки в знаменателе:

$$2(a-3)-a(a-3)=2a-6-a^2+3a=-a^2+5a-6.$$

Получаем выражение:

$$\frac{-a^2+5a-6}{-a^2+5a-6}\mathrm{.}$$

Известно, что дробь вида ${\displaystyle \frac{A}{A}}$ равна $1$, если $A\mathrm{\ne }0$. В данном случае, числитель и знаменатель одинаковы, следовательно:

$$\frac{-a^2+5a-6}{-a^2+5a-6}=1.$$

Ответ: 1.

б) ${\displaystyle \frac{(a^2-b^2)(a-c)}{(b-a{)}^2}}$

Используем разложение разности квадратов для числителя:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\mathrm{.}$$

Подставим в выражение:

$$\frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(b-a{)}^2}\mathrm{.}$$

Заметим, что $(b-a{)}^2=(a-b{)}^2$, поэтому выражение можно упростить:

$$\frac{(a-b)(a+b)(a-c)}{(a-b{)}^2}=\frac{(a+b)(a-c)}{a-b}\mathrm{.}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{(a+b)(a-c)}{a-b}}$.

в) ${\displaystyle \frac{(x^3-y^3)(x-1)}{y^2-x^2}}$

Раскроем разность кубов в числителе:

$$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\mathrm{.}$$

Раскроем разность квадратов в знаменателе:

$$y^2-x^2=(y-x)(y+x)\mathrm{.}$$

Подставим полученные выражения:

$$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y-x)(y+x)}\mathrm{.}$$

Упростим, учитывая, что $(x-y)=-(y-x)$, и получаем:

$$\frac{-(y-x)(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y-x)(y+x)}\mathrm{.}$$

Сокращаем $(y-x)$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{(x^2+xy+y^2)(x-1)}{(y+x)}\mathrm{.}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{(x^2+xy+y^2)(x-1)}{x+y}}$.