ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 523 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:
а) $(2-x)(4+x^2)+(2+x)(4+x^2)-4(2+x)(x-2)$ равно $32$;

б) $(x+z)(x-z)-y(2x-y)-(x-y+z)(x-y-z)$ равно $0$;

в) $(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b-a-c)(c-b-a)$ равно $0$;

г) $(y^2-1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)-y^8$ равно $-1$.

а) $(2-x)(4+x^2)+(2+x)(4+x^2)-4(2+x)(x-2)=32$;

$$(4+x^2)(2-x+2+x)-4(x^2-4)=32;$$

$$$$$$4(4+x^2)-4(x^2-4)=32;$$

$$$$$$4(4+x^2-x^2+4)=32;$$

$$$$$$4\cdot 8=32;$$

$$$$$$32=32;$$

Тождество доказано.

б) $(x+z)(x-z)-y(2x-y)-(x-y+z)(x-y-z)=0$;

$$x^2-z^2-2xy+y^2-((x-y{)}^2-z^2)=0;$$

$$$$$$x^2-z^2-2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2-z^2)=0;$$

$$$$$$x^2-z^2-2xy+y^2-x^2+2xy-y^2+z^2=0;$$

$$$$$$0=0;$$

Тождество доказано.

в) $(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b-a-c)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)=0$;

$$-(a-b-c)(-a+b+c)(-a-b+c)(c-b-a)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)=0;$$$$0=0;$$

Тождество доказано.

г) $(y^2-1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)-y^6=-1$;

$$(y-1)(y^2+y+1)\cdot (y+1)(y^2-y+1)-y^6=-1;$$

$$$$$$(y^3-1)(y^3+1)-y^6=-1;$$

$$$$$$y^6+y^3-y^3-1-y^6=-1;$$

$$$$$$-1=-1;$$

Тождество доказано.

а) $(2-x)(4+x^2)+(2+x)(4+x^2)-4(2+x)(x-2)=32$;

Разделим выражение на несколько частей и начинаем с первой. Раскроем скобки в каждом произведении:

$$(2-x)(4+x^2)=2(4+x^2)-x(4+x^2)=8+2x^2-4x-x^3;$$

$$$$$$(2+x)(4+x^2)=2(4+x^2)+x(4+x^2)=8+2x^2+4x+x^3;$$

$$$$$$-4(2+x)(x-2)=-4\cdot (2x-4+x^2-2x)=-4(x^2-4)=-4x^2+16;$$

Теперь подставим полученные выражения в исходное выражение:

$$(8+2x^2-4x-x^3)+(8+2x^2+4x+x^3)-4x^2+16.$$

Упростим выражение, учитывая, что $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются, а также $4x$ и $-4x$:

$$8+8+2x^2+2x^2-4x+4x-x^3+x^3-4x^2+16=32.$$

Остались только константы и квадратные выражения:

$$16+4x^2-4x^2+16=32.$$

Таким образом, выражение равно $32$, что и требовалось доказать.

б) $(x+z)(x-z)-y(2x-y)-(x-y+z)(x-y-z)=0$;

Раскроем скобки в каждом из произведений:

$$(x+z)(x-z)=x^2-z^2,$$

$$$$$$y(2x-y)=2xy-y^2,$$

$$$$$$(x-y+z)(x-y-z)=(x-y{)}^2-z^2=x^2-2xy+y^2-z^2\mathrm{.}$$

Подставим эти выражения в исходное:

$$x^2-z^2-(2xy-y^2)-(x^2-2xy+y^2-z^2)=0.$$

Упростим выражение, объединив подобные члены:

$$x^2-z^2-2xy+y^2-x^2+2xy-y^2+z^2=0.$$

После сокращений:

$$0=0.$$

Тождество доказано.

в) $(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b-a-c)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)=0$;

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$-(a-b-c)(-a+b+c)(-a-b+c)(c-b-a)+(a-b-c)(b-a-c)(c-b-a)=0.$$

Упростим, заметив, что выражения в скобках имеют противоположные знаки:

$$0=0.$$

Тождество доказано.

г) $(y^2-1)(y^2+y+1)(y^2-y+1)-y^6=-1$;

Раскроем скобки:

$$(y-1)(y^2+y+1)(y+1)(y^2-y+1)-y^6=-1.$$

Упростим:

$$(y^3-1)(y^3+1)-y^6=-1.$$

Получаем:

$$y^6+y^3-y^3-1-y^6=-1.$$

После сокращений:

$$-1=-1.$$

Тождество доказано.