ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 521 Дорофеев, Суворова - Подробные Ответы

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 521 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Найдите наибольшее значение выражения

$\frac{1}{a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10} .$

При каких значениях $a$ и $b$ оно достигается?

Краткий ответ

$a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10;$

Наибольшее значение достигается при наименьшем делителе:

$a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10 = a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} + 4 b + 4 + 5 =$ $= (a - 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 5;$

1) Наибольшее значение выражения:
$(a - 1)^{2} \geq 0$ и $(b + 2)^{2} \geq 0$ , значит $\frac{1}{(a - 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 5} \leq \frac{1}{5}$ ;

2) Найдем значение аргумента $a$ :
$(a - 1)^{2} = 0$ ;
$a - 1 = 0$ , отсюда $a = 1$ ;

3) Найдем значение аргумента $b$ :
$(b + 2)^{2} = 0$ ;
$b + 2 = 0$ , отсюда $b = - 2$ ;

Ответ: наибольшее значение $\frac{1}{5}$ достигается при $a = 1$ и $b = - 2$ .

Подробный ответ

Рассмотрим выражение:

$\frac{1}{a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10}$

Для того чтобы найти наибольшее значение этого выражения, сначала упростим числитель и знаменатель. Начнем с того, что выделим в знаменателе квадраты двучленов. Исходное выражение:

$a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10$

Разложим его на составляющие, группируя подобные слагаемые:

$a^{2} - 2 a + 1 + b^{2} + 4 b + 4 + 5$

Теперь видим, что $a^{2} - 2 a + 1$ можно записать как $(a - 1)^{2}$ , а $b^{2} + 4 b + 4$ — как $(b + 2)^{2}$ . Получаем:

$= (a - 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 5$

Теперь, когда выражение представлено в виде суммы квадратов, мы знаем, что каждый квадрат всегда неотрицателен, то есть:

$(a - 1)^{2} \geq 0 и (b + 2)^{2} \geq 0$

Следовательно, сумма этих квадратов будет иметь наименьшее значение, равное $0$ , когда $a = 1$ и $b = - 2$ . Тогда выражение примет вид:

$(a - 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 5 \geq 5$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10$ равно 5. Это значение достигается при $a = 1$ и $b = - 2$ .

Теперь, чтобы найти наибольшее значение исходного выражения, заметим, что $\frac{1}{a^{2} + b^{2} - 2 a + 4 b + 10}$ будет наибольшим, когда знаменатель будет наименьшим. Как мы только что показали, наименьшее значение знаменателя — это 5, когда $a = 1$ и $b = - 2$ . Следовательно, наибольшее значение выражения равно: