ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 521 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения

$$\frac{1}{a^2+b^2-2a+4b+10}\mathrm{.}$$

При каких значениях $a$ и $b$ оно достигается?

$$\frac{a^2+b^2-2a+4b+10}{};$$

Наибольшее значение достигается при наименьшем делителе:

$$a^2+b^2-2a+4b+10=a^2-2a+1+b^2+4b+4+5=$$$$=(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5;$$

1) Наибольшее значение выражения:
$(a-1{)}^2\ge 0$ и $(b+2{)}^2\ge 0$, значит ${\displaystyle \frac{1}{(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5}}\le {\displaystyle \frac{1}{5}}$;

2) Найдем значение аргумента $a$:
$(a-1{)}^2=0$;
$a-1=0$, отсюда $a=1$;

3) Найдем значение аргумента $b$:
$(b+2{)}^2=0$;
$b+2=0$, отсюда $b=-2$;

Ответ: наибольшее значение ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ достигается при $a=1$ и $b=-2$.

Рассмотрим выражение:

$$\frac{1}{a^2+b^2-2a+4b+10}$$

Для того чтобы найти наибольшее значение этого выражения, сначала упростим числитель и знаменатель. Начнем с того, что выделим в знаменателе квадраты двучленов. Исходное выражение:

$$a^2+b^2-2a+4b+10$$

Разложим его на составляющие, группируя подобные слагаемые:

$$a^2-2a+1+b^2+4b+4+5$$

Теперь видим, что $a^2-2a+1$ можно записать как $(a-1{)}^2$, а $b^2+4b+4$ — как $(b+2{)}^2$. Получаем:

$$=(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5$$

Теперь, когда выражение представлено в виде суммы квадратов, мы знаем, что каждый квадрат всегда неотрицателен, то есть:

$$(a-1{)}^2\ge 0\text{и}(b+2{)}^2\ge 0$$

Следовательно, сумма этих квадратов будет иметь наименьшее значение, равное $0$, когда $a=1$ и $b=-2$. Тогда выражение примет вид:

$$(a-1{)}^2+(b+2{)}^2+5\ge 5$$

Таким образом, наименьшее значение выражения $a^2+b^2-2a+4b+10$ равно 5. Это значение достигается при $a=1$ и $b=-2$.

Теперь, чтобы найти наибольшее значение исходного выражения, заметим, что ${\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2-2a+4b+10}}$ будет наибольшим, когда знаменатель будет наименьшим. Как мы только что показали, наименьшее значение знаменателя — это 5, когда $a=1$ и $b=-2$. Следовательно, наибольшее значение выражения равно:

$$\frac{1}{5}$$

Ответ: наибольшее значение ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ достигается при $a=1$ и $b=-2$.