ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 519 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):
а) $({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}})({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}})$ при $x=3$ и $y=6$;
$x=-2$ и $y=4$;
$x=15$ и $y=15$;
$x=0.2$ и $y=0.3$;

б) ${\displaystyle \frac{a-{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{b-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}}}$ при $a=4$ и $b=-1$;
$a=0$ и $b=10$;
$a=1.5$ и $b=0.3$;
$a=-16$ и $b=16$.

а) $({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}):({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}})={\displaystyle \frac{x+y}{xy}}:{\displaystyle \frac{y-x}{xy}}={\displaystyle \frac{x+y}{xy}}\cdot {\displaystyle \frac{xy}{y-x}}={\displaystyle \frac{x+y}{y-x}}$;

Выражение имеет смысл при:
$x\mathrm{\ne }0$; $y\mathrm{\ne }0$;
$x-y\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }y$;

1) При $x=3$ и $y=6$:

$$\frac{3+6}{6-3}=\frac{9}{3}=3;$$

2) При $x=-2$ и $y=4$:

$$\frac{x+y}{y-x}=\frac{-2+4}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};$$

3) При $x=y=15$:
Выражение не имеет смысла;

4) При $x=0.2$ и $y=0.3$:

$$\frac{0.2+0.3}{0.3-0.2}=\frac{0.5}{0.1}=5;$$

б) ${\displaystyle \frac{a-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}}{b-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a^3-b^2}{a^2}}}{{\displaystyle \frac{b^2-a^2}{b}}}}={\displaystyle \frac{a^3-b^2}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{b^2-a^2}}={\displaystyle \frac{a^3-b^2}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{-(a^2-b^2)}}=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$;

Выражение имеет смысл при:
$a\mathrm{\ne }0$; $b\mathrm{\ne }0$;
$b-{\displaystyle \frac{a^2}{b}}\mathrm{\ne }0\Rightarrow b^2-a^2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$;

1) При $a=4$ и $b=-1$:

$$-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4};$$

2) При $a=0$ и $b=10$:
Выражение не имеет смысла;

3) При $a=1.5$ и $b=0.3$:

$$-\frac{0.3}{1.5}=-\frac{3}{15}=-\frac{1}{5};$$

4) При $a=-16$ и $b=16$:
Выражение не имеет смысла.

а) Рассмотрим выражение:

$$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}):(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})$$

Сначала упростим каждую из дробей. Сначала преобразуем числитель и знаменатель первой дроби, а затем второй. Начнем с числителя:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$$

Теперь перейдем к знаменателю:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}=\frac{y-x}{xy}$$

Теперь получаем выражение:

$$\frac{x+y}{xy}:\frac{y-x}{xy}=\frac{x+y}{xy}\cdot \frac{xy}{y-x}$$

После сокращения $xy$ получаем:

$$=\frac{x+y}{y-x}$$

Из этого выражения видно, что оно имеет смысл при $x\mathrm{\ne }0$, $y\mathrm{\ne }0$ и $x\mathrm{\ne }y$, так как иначе дробь не существует.

Теперь подставим значения для $x$ и $y$:

При $x=3$ и $y=6$:

$$\frac{3+6}{6-3}=\frac{9}{3}=3$$

При $x=-2$ и $y=4$:

$$\frac{-2+4}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

При $x=y=15$:

Выражение не имеет смысла, так как $x=y$, что приводит к делению на ноль.

При $x=0.2$ и $y=0.3$:

$$\frac{0.2+0.3}{0.3-0.2}=\frac{0.5}{0.1}=5$$

Ответ: при $x=3$ и $y=6$ получаем 3, при $x=-2$ и $y=4$ получаем ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, при $x=y=15$ выражение не имеет смысла, при $x=0.2$ и $y=0.3$ получаем 5.

б) Рассмотрим выражение:

$$\frac{a-\frac{b^2}{a^2}}{b-\frac{a^2}{b}}$$

Начнем с упрощения числителя:

$$a-\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^3-b^2}{a^2}$$

Теперь упростим знаменатель:

$$b-\frac{a^2}{b}=\frac{b^2-a^2}{b}$$

Теперь подставим в исходное выражение:

$$\frac{\frac{a^3-b^2}{a^2}}{\frac{b^2-a^2}{b}}=\frac{a^3-b^2}{a^2}\cdot \frac{b}{b^2-a^2}$$

Разделим выражение:

$$=\frac{a^3-b^2}{a^2}\cdot \frac{b}{-(a^2-b^2)}=-\frac{b}{a}$$

Выражение имеет смысл при $a\mathrm{\ne }0$, $b\mathrm{\ne }0$, а также $b^2-a^2\mathrm{\ne }0$, что эквивалентно $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$.

Теперь подставим значения для $a$ и $b$:

При $a=4$ и $b=-1$:

$$-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4}$$

При $a=0$ и $b=10$:

Выражение не имеет смысла, так как $a=0$.

При $a=1.5$ и $b=0.3$:

$$-\frac{0.3}{1.5}=-\frac{3}{15}=-\frac{1}{5}$$

При $a=-16$ и $b=16$:

Выражение не имеет смысла, так как $b=\pm a$.

Ответ: при $a=4$ и $b=-1$ получаем ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, при $a=0$ и $b=10$ выражение не имеет смысла, при $a=1.5$ и $b=0.3$ получаем $-{\displaystyle \frac{1}{5}}$, при $a=-16$ и $b=16$ выражение не имеет смысла.