ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 517 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение (515—517).

а) $(a^2-2)a^2-a^3$;

б) $(1+c^{-1}+c^2):(c^2-c)$.

а) $(a^2-2)\cdot a^{-2}-a^{-1}$;

$$=(\frac{a^2-2}{a^2}-\frac{1}{a}):(a+\frac{1}{a^2})=$$

$$$$$$=\frac{a^2-2-a}{a^2}:\frac{a^3+1}{a^2}=\frac{a^2-a-2}{a^2}\cdot \frac{a^2}{a^3+1}=\frac{a^2-a-2}{a^3+1}=$$

$$$$$$=\frac{a(a+1)-2(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{a-2}{a^2-a+1};$$

б) $(1+c^{-1}+c^{-2}):(c^{-2}-c)$;

$$=(1+\frac{1}{c}+\frac{1}{c^2}):(\frac{1}{c^2}-c)=$$

$$$$$$=\frac{c^2+c+1}{c^2}:\frac{1-c^3}{c^2}=\frac{c^2+c+1}{c^2}\cdot \frac{c^2}{1-c^3}=$$

$$$$$$=\frac{c^2+c+1}{(1-c)(1+c+c^2)}=\frac{1}{1-c}\mathrm{.}$$

а) Рассмотрим выражение:

$$(a^2-2)\cdot a^{-2}-a^{-1}$$

Начнем с приведения всех степеней в числителе и знаменателе. Для этого преобразуем $a^{-2}$ и $a^{-1}$ как:

$$a^{-2}=\frac{1}{a^2},a^{-1}=\frac{1}{a}$$

Подставим это в выражение:

$$(a^2-2)\cdot \frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}$$

Раскроем скобки в числителе первого слагаемого:

$$\frac{a^2-2}{a^2}-\frac{1}{a}$$

Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для первых двух дробей — это $a^2$:

$$=\frac{a^2-2}{a^2}-\frac{a}{a^2}=\frac{a^2-2-a}{a^2}$$

Упростим числитель:

$$a^2-a-2$$

Таким образом, дробь становится:

$$\frac{a^2-a-2}{a^2}$$

Теперь разложим числитель на множители:

$$a^2-a-2=(a-2)(a+1)$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$\frac{(a-2)(a+1)}{a^2}$$

Далее подставим $a^2=(a)(a)$, чтобы получить:

$$=\frac{(a-2)(a+1)}{a(a)}$$

Сокращаем:

$$=\frac{a-2}{a}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{a-2}{a}}$.

б) Рассмотрим выражение:

$$(1+c^{-1}+c^{-2}):(c^{-2}-c)$$

Начнем с преобразования $c^{-1}$ и $c^{-2}$:

$$c^{-1}=\frac{1}{c},c^{-2}=\frac{1}{c^2}$$

Подставляем это в выражение:

$$(1+\frac{1}{c}+\frac{1}{c^2}):(\frac{1}{c^2}-c)$$

Приводим дроби в числителе и знаменателе к общим знаменателям. Общий знаменатель для числителя — это $c^2$, а для знаменателя — $c^2$:

$$=\frac{c^2+c+1}{c^2}:\frac{1-c^3}{c^2}$$

Теперь можно умножить на обратную величину знаменателя:

$$=\frac{c^2+c+1}{c^2}\cdot \frac{c^2}{1-c^3}$$

Сокращаем $c^2$:

$$=\frac{c^2+c+1}{1-c^3}$$

Разложим $1-c^3$ как разность кубов:

$$1-c^3=(1-c)(1+c+c^2)$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$=\frac{c^2+c+1}{(1-c)(1+c+c^2)}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{1}{1-c}}$.