ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 515 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение (515—517).

а)  ${\displaystyle \frac{1}{x-5}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2-x-20}}$;

б)  ${\displaystyle \frac{1}{a+7}}-{\displaystyle \frac{10}{21-4a-a^2}}$.

а)  ${\displaystyle \frac{1}{x-5}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2-x-20}}={\displaystyle \frac{1}{x-5}}-{\displaystyle \frac{9}{x^2-5x+4x-20}}={\displaystyle \frac{1}{x-5}}-{\displaystyle \frac{9}{x(x-5)+4(x-5)}}=$

${\displaystyle \frac{1}{x-5}}-{\displaystyle \frac{9}{(x+4)(x-5)}}={\displaystyle \frac{x+4-9}{(x+4)(x-5)}}={\displaystyle \frac{x-5}{(x+4)(x-5)}}={\displaystyle \frac{1}{x+4}}$;

б)  ${\displaystyle \frac{1}{a+7}}-{\displaystyle \frac{10}{21-4a-a^2}}={\displaystyle \frac{1}{a+7}}+{\displaystyle \frac{10}{a^2+4a-21}}={\displaystyle \frac{1}{a+7}}+{\displaystyle \frac{10}{a^2+7a-3a-21}}=$

${\displaystyle \frac{1}{a+7}}+{\displaystyle \frac{10}{a(a+7)-3(a+7)}}={\displaystyle \frac{1}{a+7}}+$${\displaystyle \frac{10}{(a-3)(a+7)}}=$

${\displaystyle \frac{a-3+10}{(a-3)(a+7)}}={\displaystyle \frac{a+7}{(a-3)(a+7)}}={\displaystyle \frac{1}{a-3}}$

а) Рассмотрим дробь:

$$\frac{1}{x-5}-\frac{9}{x^2-x-20}$$

Начнем с того, что можно разложить знаменатель второго слагаемого. Разложим его на множители:

$$x^2-x-20=x^2-5x+4x-20=x(x-5)+4(x-5)=(x+4)(x-5)$$

Таким образом, дробь принимает вид:

$$\frac{1}{x-5}-\frac{9}{(x+4)(x-5)}$$

Теперь у нас общий знаменатель $(x-5)$, и мы можем привести дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x-5}-\frac{9}{(x+4)(x-5)}=\frac{(x+4)-9}{(x+4)(x-5)}$$

Упростим числитель:

$$(x+4-9)=x-5$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$\frac{x-5}{(x+4)(x-5)}$$

Мы видим, что $(x-5)$встречается как в числителе, так и в знаменателе, и можем их сократить

(при условии, что $x\mathrm{\ne }5$):

$$\frac{1}{x+4}$$

Ответ:  ${\displaystyle \frac{1}{x+4}}$.

б) Рассмотрим дробь:

$$\frac{1}{a+7}-\frac{10}{21-4a-a^2}$$

Начнем с того, что перепишем знаменатель второго слагаемого в более удобном виде.

Для этого представим выражение  $21-4a-a^2$как $a^2+4a-21$:

$$21-4a-a^2=a^2+4a-21$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{1}{a+7}-\frac{10}{a^2+4a-21}$$

Теперь можно разложить  $a^2+4a-21$ на множители.

Для этого разлагаем его как  $a(a+7)-3(a+7)$:

$$a^2+4a-21=a(a+7)-3(a+7)$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$\frac{1}{a+7}-\frac{10}{(a-3)(a+7)}$$

Приводим дроби к общему знаменателю  $(a+7)$:

$$\frac{1}{a+7}-\frac{10}{(a-3)(a+7)}=\frac{(a-3)-10}{(a-3)(a+7)}$$

Упростим числитель:

$$a-3-10=a-13$$

Таким образом, дробь примет вид:

$$\frac{a-13}{(a-3)(a+7)}$$

Мы видим, что  $a-3$встречается и в числителе, и в знаменателе, и можем их сократить

(при условии, что  $a\mathrm{\ne }3$):

$$\frac{1}{a-3}$$

Ответ:  ${\displaystyle \frac{1}{a-3}}$.