ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 512 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь (512–514):

а) $\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}$;
б) $\frac{a^3+b^3}{a^2+2ab+b^2}$;
в) $\frac{m^4-n^4}{m^2-n^2}$;
г) $\frac{a^4-b^4}{b^2+a^2}$.

а) $\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$;

б) $\frac{a^3+b^3}{a^2+2ab+b^2}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+b{)}^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}$;

в) $\frac{m^4-n^4}{m^2-n^2}=\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{m^2-n^2}=m^2+n^2$;

г) $\frac{a^4-b^4}{b^2+a^2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=a^2-b^2$.

а) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}$$

Для начала применим формулу для разности кубов: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ и формулу для разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Подставляем эти формулы в исходную дробь:

$$\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)}$$

Теперь сокращаем множители $(a-b)$ в числителе и знаменателе, при условии что $a\mathrm{\ne }b$:

$$\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$$

Ответ: $\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$.

б) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^3+b^3}{a^2+2ab+b^2}$$

Для начала применим формулу для суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Подставляем её в числитель дроби:

$$\frac{a^3+b^3}{a^2+2ab+b^2}=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2+2ab+b^2}$$

Обратите внимание, что в знаменателе мы имеем полное квадратное выражение: $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$. Подставляем это в знаменатель:

$$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a+b{)}^2}$$

Теперь сокращаем $(a+b)$ в числителе и знаменателе, при условии что $a+b\mathrm{\ne }0$:

$$\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}$$

Ответ: $\frac{a^2-ab+b^2}{a+b}$.

в) Рассмотрим дробь:

$$\frac{m^4-n^4}{m^2-n^2}$$

Для начала применим формулу для разности квадратов: $m^4-n^4=(m^2-n^2)(m^2+n^2)$. Подставляем это в числитель:

$$\frac{m^4-n^4}{m^2-n^2}=\frac{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}{m^2-n^2}$$

Теперь сокращаем $(m^2-n^2)$ в числителе и знаменателе, при условии что $m^2\mathrm{\ne }{n}^2$:

$$m^2+n^2$$

Ответ: $m^2+n^2$.

г) Рассмотрим дробь:

$$\frac{a^4-b^4}{b^2+a^2}$$

Для начала применим формулу для разности квадратов: $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$. Подставляем это в числитель:

$$\frac{a^4-b^4}{b^2+a^2}=\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{a^2+b^2}$$

Теперь сокращаем $(a^2+b^2)$ в числителе и знаменателе, при условии что $a^2+b^2\mathrm{\ne }0$:

$$a^2-b^2$$

Ответ: $a^2-b^2$.