ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 338 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите все значения коэффициента $b$, при которых квадратный трёхчлен $2x^2+bx+8$ принимает только положительные значения. Запишите пример такого квадратного трёхчлена.

б) Найдите все значения коэффициента $c$, при которых квадратный трёхчлен $c{x}^2-3x+25c$ принимает только отрицательные значения. Запишите пример такого квадратного трёхчлена.

а) $2x^2+bx+8>0$:

$D=b^2-4\cdot 2\cdot 8=b^2-64=(b-8)(b+8);$

$\mathrm{1)\; a}=2>0$, значит ветви параболы направлены вверх, тогда нам требуется найти значения $b$, при которых график не пересекает ось $x$;

2) Уравнение $2x^2+bx+8$ не имеет решений при $D<0$:
$(b-8)(b+8)<0$;

3) Нули функции:
$b_1-8=0$, отсюда $b_1=8$;
$b_2+8=0$, отсюда $b_2=-8$;

4) Значения на интервалах:

$b\in (-8;8)$;

Пример такого трёхчлена: $2x^2+6x+8$;

б) $c{x}^2-3x+25c<0$:

$D=3^2-4\cdot c\cdot 25c=9-100c^2=(3-10c)(3+10c);$

1) Ветви параболы направлены вниз при $c<0$, нам требуется найти значения $c$, при которых график не пересекает ось $x$;

2) Уравнение $c{x}^2-3x+25c$ не имеет решений при $D<0$:
$(3-10c)(3+10c)<0$;

3) Нули функции:
$3-10c_1=0$, отсюда $c_1=\mathrm{0,3}$;
$3+10c_2=0$, отсюда $c_2=-\mathrm{0,3}$;

4) Значения на интервалах:

$c\in (-\mathrm{\infty };-\mathrm{0,3})$;

Пример такого трёхчлена: $-x^2-3x-25$;

а) $2x^2+bx+8>0$:

Рассматриваем квадратный трёхчлен $2x^2+bx+8$. Необходимо определить, при каких значениях коэффициента $b$ этот трёхчлен принимает только положительные значения, то есть $>0$ при любом $x\in \mathbb{R}$. Это означает, что график параболы находится полностью выше оси абсцисс, и, следовательно, не имеет точек пересечения с осью $x$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $2$, а это число положительное, значит, ветви параболы направлены вверх: $a=2>0$. Чтобы парабола не пересекала ось $x$, дискриминант квадратного трёхчлена должен быть отрицательным: $D<0$.

Вычислим дискриминант:

$D=b^2-4ac=b^2-4\cdot 2\cdot 8=b^2-64$

Потребуем, чтобы дискриминант был меньше нуля:

$b^2-64<0$

Это неравенство можно преобразовать:

$b^2<64$

Решением этого неравенства являются значения $b$, лежащие внутри интервала:

$-8<b<8$

Таким образом, при любом значении $b$ из интервала от $-8$ до $8$ невключительно, квадратный трёхчлен будет принимать только положительные значения, так как его график — парабола, полностью лежащая выше оси абсцисс и не имеющая действительных корней.

$b\in (-8;8)$;

Пример такого трёхчлена: $2x^2+6x+8$;

б) $c{x}^2-3x+25c<0$:

$D=3^2-4\cdot c\cdot 25c=9-100c^2=(3-10c)(3+10c);$

1) Ветви параболы направлены вниз при $c<0$, нам требуется найти значения $c$, при которых график не пересекает ось $x$;

2) Уравнение $c{x}^2-3x+25c$ не имеет решений при $D<0$:
$(3-10c)(3+10c)<0$;

3) Нули функции:
$3-10c_1=0$, отсюда $c_1=\mathrm{0,3}$;
$3+10c_2=0$, отсюда $c_2=-\mathrm{0,3}$;

4) Значения на интервалах:

$c\in (-\mathrm{\infty };-\mathrm{0,3})$;

Пример такого трёхчлена: $-x^2-3x-25$;