ГДЗ по Алгебре 9 Класс Остальные Задания Для Старого Учебника(2019) Номер 336 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

а) $\sqrt{15-2a-a^2}+\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2-2}$;

б) $\sqrt{1-\frac{1}{4}a}+\sqrt{33+5a-2a^2}$.

а) $\sqrt{15-2a-a^2}+\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2-2}$:

Имеет смысл при:

$$\{\begin{array}{l}15-2a-a^2\ge 0\\ \frac{1}{2}{a}^2-2\ge 0\end{array}$$$\mathrm{1)\; 15}-2a-a^2\ge 0$:

Ветви параболы направлены вниз;

Нули функции:

$$-a^2-2a+15=0;$$

$$D=2^2+4\cdot 15=4+60=64=8^2,\text{ тогда:}$$

$$a_1=\frac{2-8}{-2}=3\text{и}{a}_2=\frac{2+8}{-2}=-5;$$

2) $\frac{1}{2}{a}^2-2\ge 0$:

Ветви параболы направлены вверх;

Нули функции:

$$\frac{1}{2}{a}^2-2=0\mathrm{\mid }\cdot 2;$$

$$a^2-4=0;$$

$$a^2=4,\text{ отсюда }a=\pm 2;$$

Схематичный рисунок:

$$3)\{\begin{array}{l}-5\le a\le 3\\ (-\mathrm{\infty };-2]\cup [2;+\mathrm{\infty })\end{array};$$

Ответ: $[-5;-2]\cup [2;3]$.

б) $\sqrt{1-\frac{1}{4}a}+\sqrt{33+5a-2a^2}$:

Имеет смысл при:

$$\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{4}a\ge 0\\ 33+5a-2a^2\ge 0\end{array}$$

$\mathrm{1)\; 1}-\frac{1}{4}a\ge 0$:

$$-a\ge -4;$$

$$a\le 4;$$

Ветви параболы направлены вниз;

Нули функции:

$$-2a^2+5a+33=0;$$

$$D=5^2+4\cdot 2\cdot 33=25+264=289={17}^2,\text{ тогда:}$$

$$a_1=\frac{-5-17}{2\cdot (-2)}=\frac{22}{4}=5.5\text{и}{a}_2=\frac{-5+17}{2\cdot (-2)}=-3;$$

Схематический рисунок:

$$3)\{\begin{array}{l}a\le 4\\ -3\le a\le 5.5\end{array}⟹-3\le a\le 4;$$$$$$Ответ: $[-3;4]$.

а) $\sqrt{15-2a-a^2}+\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2-2}$

Выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда подкоренные выражения неотрицательны. Запишем это условие:

$15-2a-a^2\ge 0\text{и}\frac{1}{2}{a}^2-2\ge 0$

Рассмотрим сначала первое неравенство:

$15-2a-a^2\ge 0$

Приведём его к стандартному виду квадратного неравенства. Для этого перепишем в виде:

$-a^2-2a+15\ge 0$

Домножим обе части на $-1$, меняя знак неравенства:

$a^2+2a-15\le 0$

Решим соответствующее уравнение:

$a^2+2a-15=0$

Найдём дискриминант:

$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-15)=4+60=64$

Корни уравнения:

$a_1=\frac{-2-8}{2}=-5$, $a_2=\frac{-2+8}{2}=3$

Так как ветви параболы вверх, знак неравенства$\le 0$, значит решение:

$-5\le a\le 3$

Теперь второе неравенство:

$\frac{1}{2}{a}^2-2\ge 0$

Умножим обе части на 2:

$a^2-4\ge 0$

Найдём корни уравнения:

$a^2=4\Rightarrow a=\pm 2$

Это неравенство имеет вид

$a^2-4\ge 0$, т.е. ветви вверх и знак$\ge$. Значит, решение:

$a\le -2\text{или}a\ge 2$

Пересечём оба множества:

Первое: $-5\le a\le 3$

Второе: $a\le -2\text{или}a\ge 2$

Тогда пересечение: $[-5;-2]\cup [2;3]$

Ответ: $[-5;-2]\cup [2;3]$

б) $\sqrt{1-\frac{1}{4}a}+\sqrt{33+5a-2a^2}$

Найти область определения — значит решить систему двух неравенств:

$1-\frac{1}{4}a\ge 0\text{и}33+5a-2a^2\ge 0$

Сначала первое неравенство:

$1-\frac{1}{4}a\ge 0$

Переносим и домножим:

$-\frac{1}{4}a\ge -1\Rightarrow a\le 4$

Теперь второе неравенство:

Перепишем в стандартном виде:

$-2a^2+5a+33\ge 0$

Решим уравнение:

$-2a^2+5a+33=0$

Дискриминант:

$D=5^2-4\cdot (-2)\cdot 33=25+264=289$

Корни:

$a_1=\frac{-5-17}{-4}=\frac{22}{4}=5.5$, $a_2=\frac{-5+17}{-4}=\frac{-12}{-4}=3$

Так как ветви параболы направлены вниз, знак$\ge$, берём промежуток между корнями:

$3\le a\le 5.5$

Теперь найдём пересечение с условием $a\le 4$:

Пересекаются промежутки: $a\le 4$ и $3\le a\le 5.5$

Ответ: $3\le a\le 4$

Ответ: $[3;4]$